漸近線を求める

質問

漸近線を求める問題なのですが、自分で解いていて困ってしまったので、解答をみたのですが、解答の解説の計算過程がわからないところがあります。お手数ですが、どなたかアドバイスをお願いいたします。

問題は、y^3=x^2(x-1)の増減、極値、漸近線、グラフです。

解答は、明らかにｙ軸に平行な漸近線はないので、漸近線の方程式を=ax+bとおくと、
a=lim(x→+-∞)f(x)/x=1
b=lim(x→+-∞)(y-x)
=lim(x→+-∞)(x^3-x^2）^（1/3)-x
=lim(x→+-∞)(x^3-x^2-x^3)/((x^3-x^2）^（2/3）+(x^3-x^2）^（1/3）x+x^2＝-1/3

となっているのですが、このbを求めるところの二行目から三行目の計算過程がわかりません。これは有利化をしているのかとも思いましたが、自分で有利化してみてもうまくいきません。1/3乗の有利化だと、2/3乗をかければいいのだろうとやってみましたが、それでも解答のようになりません。

どうか、よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

恒等式：y^3-x^3=(y-x)(y^2+xy+x^2)

の両辺をy^2+xy+x^2で割ると

y-x=(y^3-x^3)/(y^2+xy+x^2)

となります。
ご質問の第２行から第３行への変形は、上の式で言えば左辺から右辺に変形と同じです。(y-xの分母と分子にy^2+xy+x^2をかけたというイメージ)

あるいは、
＞b=lim(x→+-∞)(y-x)
のlimの中身を上のように変形してから、y=(x^3-x^2)^(1/3)を代入したと思ってもいいでしょう。

お礼

やっと意味がわかりました。
なるほど、三乗の場合はこのように変形するのですね。
長い間疑問だったなぞがやっと解けました。
早速御回答いただいていたのに、お礼が遅くなり申し訳ありませんでした。なかなかわからなかったものですから。またよろしくお願いいたします。