漸近線を求めるときの場合分け

質問

タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。
漸近線の基本的な求め方は、１、y軸に平衡な漸近線、２、ｙ軸に平衡でない漸近線、とあります。

これを使って
問題１、y=(ｘ^2-x+1)/(x-1)の漸近線を求めよ。
問題２、ｙ=2x+(x^2-1)^（1/2）の漸近線を求めよ。
です。

解答は、問題１では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題２では、明らかに、ｙ軸に平行な漸近線はない、として、ｙ軸に平行でない漸近線を求めています。

ですが、ここで質問です。問題１では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。また、問題
で、明らかにｙ軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。が、これの意味もよくわからないのです。

勉強不足ですが、どなたか存知の方、アドバイスをいただけませんか。よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞)　・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
＞問題１では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。
具体的にどのような解答なのか分かりませんが、多分、問題ありません。

ちなみに、実際に、このようなa,bを計算で求めるとしたら、
a=lim[x→∞]f(x)/x　(★をxで割ってx→∞としたもの)
としてaを求めます。このaを元に
b=lim[x→∞](f(x)-ax)
としてbを求めます。(もちろん、これらが収束する保証はありませんが、収束しないのなら、漸近線を持たないという事です)

＞また、問題
＞で、明らかにｙ軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。
y軸に平行な漸近線というのは、y=1/xにおけるy軸とか、y=tanxにおける、直線x=π/2のような奴です。
要するにf(x)がx→α(有限の値)で発散するような奴です。ほぼ１００％、分母が０になるような奴です。
＞ｙ=2x+(x^2-1)^（1/2）
は、途中で発散することがないので(いたるところで連続ですから)、y軸に平行な漸近線を持ちません

＞ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。

「南京玉すだれ」って分かりますか？
http://www.eonet.ne.jp/~tosimaru/
↑こんなのです。これの竹串(?)って、何か竹串に平行な方向にずれますよね。
※各竹串は、普通全部同じ長さですが、それぞれ長さが違うとしましょう(y=f(x)の形)

この竹串が垂直になるように、水平な面に置くと、すだれの上端はy=f(x)という形状になっているはずです。

でも、坂道に置くと(各竹串の下端を地面につける)、すだれの上端はy=f(x)という形にはなってませんよね。
坂道の高さ(?)＋すだれの高さ(=f(x))
っていう感じの形になっているのがイメージできませんかね？

これと同じように、
y=2xという「坂道」の上に、√(x^2-1)という形の「すだれ」を置いている、というイメージで
y=2x+√(x^2-1)というグラフの形状をイメージしてみよう、
という感じの意味ですね。
(・・・って、上手く説明できません。。。図は書けないし、日本語は下手なので、分からなかったら、やんわりとスルーしてあげてくださいｗ)

お礼

ご回答ありがとうございました！
南京玉すだれ、ありがとうございました。
やっと意味がわかりました。
ついでにホームページもじっくりと読んでしまいました。和曲線という意味がやっとわかりました。ですが、結局、和曲線を考えるためにはそれぞれのグラフがやはり書けないとだめですね。

あと、＞ちなみに、実際に、このようなa,bを計算で求めるとしたら、
a=lim[x→∞]f(x)/x　(★をxで割ってx→∞としたもの)

というところがちょっとわかりかねました。
★をxで割るとf(x)/x-a-b/xですよね？
これをx→∞とすると、f(x)/x-aですね？aは定数だから残りますよね？
それで、どうしたら、a=lim[x→∞]f(x)/xとなるのでしょう？わからなさすぎですね。すいません。

回答No.2

sanori

問題１

まず、分子はｘ^2-x+1ですが、
ｘが物凄く大きいと（＋∞や－∞のとき）、ｘ２乗の項（ｘ＾２）に比べて、他の項（－ｘと＋１）は無視できるぐらい小さくなります。
ですから、ｘが物凄く大きいときは、分子は、ほぼｘ＾２になります。

同様に、分母は、
ｘが物凄く大きいと、「－１」の項は、ｘに比べて無視できますから、ほぼｘになります。

ですから、ｙ＝ｘ＾２／ｘ、すなわち、ｙ＝ｘが漸近線になります。

まずは、上記のように、どういう答えになるかの目星をつけておきます。

次に、解答に書く、ちゃんとした数式を考えましょう。

ｙ＝(ｘ^2-x+1)/(x-1)
＝ｘ＾２・（１－１／ｘ＋１／ｘ＾２）／（ｘ・（１－１／ｘ））
＝ｘ・（１－１／ｘ＋１／ｘ＾２）／（１－１／ｘ）
ですから
limｘ→＋∞ｙ＝・・・以下略

問題２

和曲線を考える、ということは、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の各々の漸近線を求めて、最後にそれらの和を取れば、ｙ=2x+(x^2-1)^（1/2）の漸近線になる、ということです。

まず第１項の２ｘは、ｘがどこまで大きくなっても２ｘ（直線）ですから、漸近線もｙ＝２ｘ

次に第２項の(x^2-1)^(1/2)は、やはり問題１と同様に考えれば、ｘ＾２－１は、ｘが物凄く大きいと（＋∞および－∞）－１はｘ＾２に比べて無視できるぐらい小さいので、結局（ｘ＾２）＾（１／２）＝ｘになります。

よって、ｙ＝２ｘ＋ｘ　すなわち　ｙ＝３ｘが漸近線になります。

解答に書くちゃんとした数式は、
第２項の(x^2-1)^(1/2)を
ｘ・（１－１／ｘ＾２）＾（１／２）
とすればよいでしょう。
あとは、おわかりですね？

なお、「明らかに、ｙ軸に平行な漸近線はない」という言葉の趣旨については、私もわかりません。
ただ、漸近線がｙ軸に平行になるということは、ｘがある値のときｙが突如－∞や＋∞になる関数（例：ｙ＝１／ｘとか三角関数のｙ＝ｔａｎｘとか）のことを指しているので、ぱっと見、何か見抜く方法があるのかもしれません。

お礼

御回答ありがとうございました。
問題１は、めぼしをつけることはわかったのですが、解答を書く際は数式を考える、とした後の、以下略、以降がわかりませんでした。これは上の文章が理解できていないということでしょうか。もう一度考えてみたいと思います。
問題２の和関数に関しては、関数を二つにわけて、それぞれの極限を考えるということですね。よくわかりました。御回答ありがとうございました。
お礼が遅くなり申し訳ありあｍせんでした。