漸近線の求め方？

質問

(e^2x+1) / (e^x-2)　の漸近線を求めよという問題があります。

ｘはわかったのですが、　ｙ軸と平行な漸近線の求め方がわかりません。

答えは　y= -1/2のようです。

解き方を、教えてください。

回答No.1

tetra_o · ベストアンサー

xy平面上において、y軸と平行な漸近線を求めるということは、要は関数がどのような値に発散あるいは収束するかを調べるということですから、lim[x→+∞] および lim[x→-∞]を調べ、極限値をもてばそれをy軸と平行な漸近線とすることができます。

lim[x→+∞] (e^2x+1) / (e^x-2) = lim[x→+∞] (e^x+1/e^x) / (1-2/e^x) = +∞

よって、x→+∞の時は発散するので、y軸と平行な漸近線を持ちません。

x→-∞の時は、t=-xと置き換えれば、

lim[x→-∞] (e^2x+1) / (e^x-2) = lim[t→+∞] (1/e^(2x)+1) / (1/e^x-2) = -1/2

よって、x→-∞の時は-1/2に収束するので、y軸と平行な漸近線y=-1/2が求まります。

以上より、(e^2x+1) / (e^x-2) のy軸に平行な漸近線はy=-1/2となります。

------------以下余談------------

y=mx+nの形で表されるy=f(x)の漸近線は、lim[x→±∞] {f(x)-mx-n} = 0 を満たしますから、 lim[x→±∞] -n を右辺に移項して計算すると、lim[x→±∞] f(x)-mx = n また、lim[x→±∞] {f(x)-mx-n}/x = 0 より、lim[x→±∞] -(mx+n)/xを右辺に移項して計算すると、 lim[x→±∞] f(x)/x = m

よって、一般に、y=mx+nの形で表されるy=f(x)の漸近線は、次の式によって求まります。
　m = lim[x→±∞] f(x)/x
　n = lim[x→±∞] f(x)-mx
先にmを計算してから、nを計算するという感じになります。本問では、

x→+∞では、m = lim[x→+∞] (e^(2x)+1) / (e^x-2) * 1 / x → lim[x→+∞] 2e^(2x)/e^x (※) = lim[x→+∞] 2e^x = ＋∞ よってこの時y=mx+nで表される漸近線は存在しない
(※)大学で習うロピタルの定理を利用するので、そんなものなんだ程度に理解していただければ。

x→-∞では、 m = lim[x→-∞] (e^(2x)+1) / (e^x-2) * 1 / x → lim[t→+∞] (1/e^(2x)+1) / (1/e^x-2) * 1 / (-t) = 0, n = lim[x→-∞] (e^(2x)+1) / (e^x-2) = -1/2 よってこの時y=mx+nで表される漸近線はy=-1/2

お礼

早速のご回答を　ありがとうございました。

逆数の形にして代入するという方法を、初めて知りました。

とてもよくわかりました。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.3

tetra_o

#1の者です。先の回答では、「ｙ軸と平行な漸近線」としていましたが、これは「x軸と平行な漸近線」の間違いです。すいません。
y軸と平行な漸近線は、x=...の形で表されるもので、これは#2の方が仰るとおりです(恐らく質問者さんもお分かりだとは思いますが)。

お礼

ｘ軸、ｙ軸などの用語の使い方が雑で不正確になってしまいました。

ご指摘を、どうもありがとうございました。

回答No.2

info222_

>y=(e^(2x)+1) / (e^x-2)　の漸近線を求めよ

>ｘはわかったのですが、
この意味は何でしょうか？

x軸と平行な漸近線のことでしょうか？
そうなら 「y=k」のタイプの漸近線となります。
ｋ=lim(x->-∞) y
=lim(x->-∞)(e^(2x)+1)/(e^(x)-2)
=(e^(-∞)+1)/(e^(-∞)-2)=(0+1)/(0-2)=1/(-2)=-1/2
x軸と平行な漸近線:y=-1/2　（x->-∞で漸近)

ｋ=lim(x->∞) y
=lim(x->∞)(e^(2x)+1)/(e^(x)-2)
=lim(x->∞)(e^(2x))/(e^(x))
=lim(x->∞) e^(2x-x)
=lim(x->∞) e^(x)
=e^∞=∞（収束しない）
x->∞で漸近するx軸に平行な漸近線は存在しない。

>ｙ軸と平行な漸近線の求め方がわかりません。

>答えは　y= -1/2のようです。
これはy軸に平行な直線ではありません。なので間違い。
ｙ軸と平行な漸近線は　x=hのタイプの直線です。
求め方
y=(e^2x+1) / (e^x-2)
の分母 ->0
から
　 e^x　-> 2
　x -> log(2)=h
したがってy軸に平行な漸近線：x=log(2)
(log(2)は２の自然対数です。)
[参考]
lim(x->log(2)) y=lim(x->log(2) )(e^(2x)+1)/(e^(x)-2)
=(e^(2log(2))+1)/(e^(log(2))-2)
=(e^(2log(2))+1)/(2-2)=(e^(2log(2))+1)/０
＝+∞　または -∞
ゆえに x=log(2)　はy軸に平行な漸近線。

お礼

∞のマイナスを　使う、という方法を初めて知りました。
とてもよく分かりました。

ご回答、どうもありがとうございました！