証明問題が解りません。よろしくお願いします。

質問

証明問題が解りません。よろしくお願いします。
　Ｘ＞０、Y＞０のとき、次の不等式を証明せよ。また、等式が成り立つのはどのような時か？
　　Ｘ＋Ｘ分の８≧４√２

回答No.3

tomokoich · ベストアンサー

x+8/x≧4√2
x^2-4√2x+8≧0
(x-2√2)^2≧0

だから二乗の形になるためこの不等式は成り立ちます。

等式が成り立つのはx=2√2の時

お礼

早々に教えていただきましてありがとうございました。理解できました。助かりました！

回答No.2

Tofu-Yo

すでに相加相乗平均の大小関係で解く回答が既出してますので、Ｘ倍して整理する方法。
Ｘ＋Ｘ分の８≧４√２⇔Ｘ＾２＋８≧４√２Ｘ
⇔Ｘ＾２－４√２Ｘ＋８≧０・・・（１）
であるから、（１）を示せばよい。あとは左辺を因数分解すれば・・・
これだと等号が成り立つときも理屈でわかりますね。

ちなみに不等式で両辺に何かをかけるときはその正負に気をつけなければなりません。
今回はＸをかけましたが、Ｘ＞０であるから両辺にかけても不等号が変わらないのであって、負のときは逆になりますので要注意。

お礼

理解できました。助かりました！ありがとうございました。

回答No.1

R_Earl

左辺が2つの項の足し算の形になっており、
更に2つの項の積が簡単な形になりそうな場合は、
相加相乗平均を利用すると上手くいく場合が多いです。

今回の問題は当てはめるだけで解けます。

お礼

理解できました。ありがとうございました☆