証明問題です。

質問

（１）x≧y≧0のとき、不等式x/1+x≧y/1+yが成り立つことの証明

（２）不等式|x|/(1+|x|)+|y|/(1+|y|)+|z|/(1+|z|)≧|x+y+z|/(1+|x+y+z|)が成り立つことの証明

どこから手をつけたらいいのか
さっぱりです……

解ける方いらっしゃいましたら、
解説お願いします。m(_)m

回答No.2

noname#163178

（１）ｘ＋１≧ｙ＋１≧１より１／（１＋ｙ）≧１／（１＋ｘ）
両辺ー１をかけて１を加えると、１－１／（１＋ｙ）≦１－１／（１＋ｘ）
よって、ｙ／（１＋ｙ）≦ｘ／（１＋ｘ）

（２）左辺を通分すると、

分子＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜＋２（｜ｘｙ｜＋｜ｙｚ｜＋｜ｚｘ｜）＋３｜ｘｙｚ｜
分母＝1＋｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜＋｜ｘｙ｜＋｜ｙｚ｜＋｜ｘｙｚ｜

ここで
Ａ＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜＋｜ｘｙ｜＋｜ｙｚ｜＋｜ｘｙｚ｜
Ｂ＝｜ｘ＋ｙ＋ｚ｜
とおくと、

Ａ≧｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜≧Ｂ≧０

したがって、
問題の不等式の左辺
＝（Ａ＋｜ｘｙ｜＋｜ｙｚ｜＋｜ｚｘ｜＋３｜ｘｙｚ｜）／（１＋Ａ）
≧Ａ／（１＋Ａ）
≧Ｂ／（１＋Ｂ）　←（１）を使う

回答No.1

suko22

(1)（左辺）-（右辺）＝ｘ/（1+ｘ）-ｙ/（1+ｙ）＝（ｘ-ｙ）/｛（1+ｘ）（1+ｙ）｝≧0（∵ｘ≧ｙ≧0だから）
よって、ｘ/（1+ｘ）≧ｙ/（1+ｙ）が成り立つ。

(2)i　ｘ≧0、ｙ≧0、ｚ≧0のとき
（左辺）－（右辺）＝ｘ/（1+ｘ）+ｙ/（1+ｙ）+ｚ/（1+ｚ）-（ｘ+ｙ+ｚ）/（1+ｘ+ｙ+ｚ）
　　＝1-1/（1+ｘ）+1-1/（1+ｙ）+1-1/（1+ｚ）-1+1/（1+ｘ+ｙ+ｚ）
　　＝2-1/（1+ｘ）-1/（1+ｙ）-1/（1+ｚ）+1/（1+ｘ+ｙ+ｚ）
　　＝4-｛（1+ｘ）+1/（1+ｘ）｝-｛（1+ｙ）+1/（1+ｙ）｝-｛（1+ｚ）+1/（1+ｚ）｝+｛（1+ｘ+ｙ+ｚ）+1/（1+ｘ+ｙ+ｚ）｝・・・※

ここで、1+ｘ＞0、1/（1+ｘ）＞0なので相加相乗平均より、（1+ｘ）+1/（1+ｘ）≧2（等号成立ｘ＝0）
同様に（1+ｙ）+1/（1+ｙ）≧2（等号成立ｙ＝0）、（1+ｚ）+1/（1+ｚ）≧2（等号成立ｚ＝0）、（1+ｘ+ｙ+ｚ）+1/（ｘ+ｙ+ｚ）≧2（等号成立ｘ＝ｙ＝ｚ＝0）

これらの関係より、
※は、
4-｛（1+ｘ）+1/（1+ｘ）｝-｛（1+ｙ）+1/（1+ｙ）｝-｛（1+ｚ）+1/（1+ｚ）｝+｛（1+ｘ+ｙ+ｚ）+1/（1+ｘ+ｙ+ｚ）｝≧4-2-2-2+2＝0（等号成立ｘ＝ｙ＝ｚ＝0）

よって、ｘ/（1+ｘ）+ｙ/（1+ｙ）+ｚ/（1+ｚ）≧（ｘ+ｙ+ｚ）/（1+ｘ+ｙ+ｚ）

　ii　ｘ＜0またはｙ＜0またはｚ＜0のとき
　　　｜ｘ｜、｜ｙ｜、｜ｚ｜に対してiの結果を利用すると、
　　｜ｘ｜/（1+｜ｘ｜）+｜ｙ｜/（1+｜ｙ｜）+｜ｚ｜/（1+｜ｚ｜）≧（｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜）/（1+｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜）＝1-1/（1+｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜）・・・※1
が成り立つ。

　ここで｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜≧｜ｘ+ｙ+ｚ｜≧0の関係を使うと、
※1の右辺は
1-1/（1+｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜）≧1-1/（1+｜ｘ+ｙ+ｚ｜）＝｜ｘ+ｙ+ｚ｜/（1+｜ｘ+ｙ+ｚ｜）

よって、｜ｘ｜/（1+｜ｘ｜）+｜ｙ｜/（1+｜ｙ｜）+｜ｚ｜/（1+｜ｚ｜）≧｜ｘ+ｙ+ｚ｜/（1+｜ｘ+ｙ+ｚ｜）が成り立つ。