高校数学の問題をおしえてください！

質問

次の問題の証明お願いしますm(__)m
Q、0でない実数x,y,zが2^x＝5^y＝10^zを満たすとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
1/x＋1/y＝1/z

回答No.3

178-tall

2^x＝5^y＝10^z

　　　↓ 指数関数表示

e^{xLN(2) } = e^{yLN(5) } = e^{zLN(10) }

　　　↓ 指数等式

xLN(2) = yLN(5) = zLN(10)

　　　↓ 整形

LN(2) = (z/x)LN(10)
LN(5) = (z/y)LN(10)

　　　↓ 加算

LN(2) + LN(5) = LN(10) = { (z/x) + (z/y) }*LN(10)
1 = (z/x) + (z/y)
1/z = (1/x) + (1/y)

回答No.2

info22_

2^x＝5^y＝10^z=k(>0,≠1)とおくと
x=log[2](k), y=log[5](k), z=log[10](k)

1/x+1/y-1/z=1/log[2](k)+1/log[5](k)-1/log[10](k)
=log[k](2)+log[k](5)-log[k](10)
=log[k](2*5/10)
=log[k](1)
=0

∴1/x+1/y=1/z

回答No.1

asuncion

2^x = 5^y
両辺の、5を底とする対数をとる。
xlog(5)2 = y
1/y = 1/xlog(5)2
1/x + 1/y
= 1/x + 1/xlog(5)2
= {1 + log(2)5}/x
= {log(2)2 + log(2)5}/x
= log(2)10/x

2^x = 10^z
両辺の常用対数をとる。
xlog(10)2 = z
1/z = 1/xlog(10)2
= log(2)10/x

∴1/x + 1/y = 1/z