式と証明の問題です。

質問

x>0、ｙ＞0、ｘ+ｙ＝１のとき、不等式（1+1/ｘ）1+1/ｙ）≧9が成り立つことを示せ、また、等号が成り立つのはどのような場合か。という問題を詳しく教えてください。解説をなくしてしまった問題で、ここはこうなるからこのようになる……。みたいな感じで丁寧に教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.3

info22_

>不等式（1+1/ｘ）1+1/ｙ）≧9

不等式（1+(1/x))(1+(1/y))≧9
の間違いでは

もしそうなら
(1+(1/x))(1+(1/y))
=(x+1)(y+1)/(xy)
=(xy+(x+y)+1)/(xy)
=(xy+1+1)/(xy)
=1+(2/(xy))

ここで
x>0,y>0なので相加平均相乗平均の関係から
1=x+y≧2√xy　(等号はx=y=1/2の時成立)
(1/2)≧√(xy)
1/4≧xy>0
であるから
4≦1/(xy)

従って
(1+(1/x))(1+(1/y))≧1+8=9
等号は x=y=1/2のとき成立。

回答No.2

hugen

（1+1/ｘ)(1+1/ｙ）≧9
1+1/x+1/y+1/xy≧9
2/xy≧8
4xy≦1

回答No.1

gohtraw

不等式がなんか変ではないですか？それはともかく、
ｙ＝１－ｘを不等式の左辺に代入し、０＜ｘ＜１の範囲で左辺がどういう値をとるか考えればいいと思います。

ｘの範囲が上記のようになるのは、
０＜ｙ＝１－ｘ　だからです。