証明問題

質問

ご閲覧ありがとうございます
次の２つの証明問題なのですが、何をどう説明していいのかわかりません。
よろしければ詳しく答えてもらえると嬉しいです。
すみません。どうかお願いします。
※２つは別問題です

証明　tan(x+π）＝tan(x) for∀x∈R

証明　exp(x+y)=exp(xy)　 exp(xy)for∀xy∈R
［有理数のときは成り立つことを用いて良い］

回答No.2

kabaokaba

>２つめはx、yが無理数で成り立つか？という問いだったので

>exp(x+y)=exp(xy)　 exp(xy)for∀xy∈R
ではなく，
exp(x+y)=exp(x)exp(x)for∀x,y∈R
でしょう．

一般には指数法則は
a>0のときに，任意の実数x,yに対して
a^{x+y}=a^x a^y
が成り立つということなので
その問題には何かの前提条件があります．
指数法則そのもの証明の一貫である可能性もありますし，
そもそも exp(x) がどのような定義であるのかが重要です．

定義の一例
exp(x)=Σ_{i=0}^∞ x^n/n!
この定義なら，指数法則の証明は
「コーシー積」の計算で終わり
ただし，底が「e」という値である指数関数であることは
別途証明の必要があります．

e=lim_{n->∞}(1+1/n)^nとして，
有理数qに対して，e^q が定義されているという前提において
任意の実数 x に対して，xに収束する有理数列{qn}をとり
e^x = lim_{n->∞} e^{qn}
という定義であるならば，この定義のwell-definednessが
示されているならば，
exp(x+y)=exp(x)exp(x)
は定義より自明です
xに収束する有利数列{qn}およびyに収束する有理数列{pn}をとれば
{qn+pn}はx+yに収束し
exp(x+y)=lim_{n->∞} e^{qn+pn}
=lim_{n->∞} e^{qn} lim_{n->∞} e^{pn}
=exp(x)exp(y)
というだけ

お礼

前提の定義によって変わることがよくわかりました。
丁寧に例をあげてくださりほんとうに感謝です。
とてもわかりやすかったです
ありがとうございました！
頑張って理解していきます！

ほんとうにありがとうございました！！！

回答No.1

kabaokaba

こういう「基礎部分」の問題は
何を定義とするかで証明が大きく変わります．

あなたの採用している「tan(x)の定義」は何ですか？
あなたの採用している「exp(x)の定義」は何ですか？

ちなみに，tan(x)=sin(x)/cos(x)という定義であれば
tan(x+π)
=sin(x+π)/cos(x+π)
=-sin(x)/(-cos(x))
=sin(x)/cos(x)
=tan(x)
というだけです．
exp(x)の方は，定義のほかにも何を前提としてよいのかに
かなり依存します．

お礼

回答ほんとうにありがとうございます！

定義で変わるものですか…
根本からなってなくて申し訳ないです
すみません。

１つめの定義はtan(x)=sin(x)/cos(x)でした。
ありがとうございます。

２つめはx、yが無理数で成り立つか？という問いだったので
よく理解していません。
あと∵√です。
こんな書き方しかできなくてすみません