不等式の問題なのですが・・・

質問

数IIの不等式の問題で、どうしても解けず、質問させて頂きました。

次の不等式を証明せよ。
(i)　(x^4+y^4)(x^2+y^2)≧(x^3+y^3)^2　　(x^4はxの四乗です）

(ii)　x^4+y^4≧x^3y+xy^3

以上二題です。
回答、お願い致します。

回答No.2

yhposolihp

左辺
=[(x^4+y^4)(x^2+y^2)]
=[x^6+y^6+(x^2)(y^4)+(y^2)(x^4)]

右辺
=[(x^3+y^3)^2]
=[x^6+y^6+2(x^3)(y^3)]

左辺－右辺
=(x^2)(y^4)+(y^2)(x^4)-2(x^3)(y^3)
=(x^2)(y^2)[x^2+y^2-2xy]
=(x^2)(y^2)[(x-y)^2]≧0

∴　左辺≧右辺　
　等号は　x=y, x=0, y=0 のとき　。　

------------------
左辺－右辺
=x^4+y^4-(x^3)y-x(y^3)
=[x^4-(x^3)y]+[y^4-x(y^3)]
=(x^3)(x-y)+(y^3)(y-x)
=[(x^3)-(y^3)](x-y)
=(x-y)[(x^2)+xy+(y^2)](x-y)
=[(x-y)^2][ {x + (y/2) }^2 + (3/4)(y^2)]≧0

∴　左辺≧右辺　
　等号は　x=y のとき　。

お礼

回答、ありがとうございます。
とても丁寧で分かり易く、自分が纏められなかった部分も見えて、とても助かりました。

回答No.1

looker1986

質問される場合は、なるべく、御自分がどこまで考えたかを
書くようにしてください。（その方が回答しやすいので）
見当違いの考えでも構いません。
それならそれで、何を勘違いされているか把握できますし。
もし、「全く」(手も付けられないぐらい)わからないのであれば、
基本的な問題を復習されることをお勧めします。

以下回答。
不等式の問題の最も基本的な解法は
(左辺)－(右辺)を考えることです。
これで出来ない場合もあるかと思いますが、
多くの場合この方法が通用します。
(無理なら別の方法を考えればよいのです。)

つまり、A≧Bを示せ。と言われれば、
A-B≧0を示せばよいのです。

(i),(ii)どちらの問題もこの方法で解けます。
(左辺)－(右辺)を展開して計算した後に、因数分解してみてください。

また、(ii)の後半で
x^2+xy+y^2≧0を示すことになりますが、
これはx^2+xy+y^2を「xの２次関数」と見て、
平方完成してみてください。

お礼

回答、ありがとうございます。
与式を展開した後の纏め方が分からず、苦労していました。
詳しいアドバイス、助かります。