定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。

質問

定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
∫[0,n]1/(x+1)dx＜１＋1/2＋・・・＋1/n＜１＋∫[1,n](1/x) dx を証明せよ

という問題なのですが、この問題って真ん中はn個の長方形の面積の和で

ｙ＝1/(x+1)とｙ＝1/xのグラフを書けば図から明らかになってしまいます。

しかし、グラフはイメージなので分かりやすい反面、限りがある範囲しか図示できず、正確性に欠ける気もします。

もっと良い証明方法はないでしょうか？分かる方おられましたら何卒ご教授いただければ幸いです。

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

区間[k,k+1]において
1/(k+1)＜1/x＜1/k
よって
∫[k,k+1]{1/(k+1)}dx＜∫[k,k+1]{1/x}dx＜∫[k,k+1]{1/k}dx
1/(k+1)＜log(k+1) - logk＜1/k

log(k+1) - logk＜1/k をk=1,2,…,nについて加えると
log(n+1)=∫[0,n]{1/(x+1)}dx＜１＋1/2＋・・・＋1/n

1/(k+1)＜log(k+1) - logk をk=1,2,…,n-1について加えると
1/2＋・・・＋1/n＜logn=∫[1,n]{1/x}dx
∴１＋1/2＋・・・＋1/n＜1+∫[1,n]{1/x}dx
∴∫[0,n]{1/(x+1)}dx＜１＋1/2＋・・・＋1/n＜1+∫[1,n]{1/x}dx

お礼

ありがとうございました。感謝申し上げます。