二次関数

質問

二つの二次関数f(x)=x^2-2x+2a^2, g(x)=-x^2+2(2a-1)x-4a^2+7a-2がある。ただし、aは0<a<2を満たす定数とする。

(2)a≦x≦a+1におけるf(x)の最小値をaを用いて表せ。
(3)a≦x≦a+1におけるf(x)の最小値をmとする。a≦x≦a+1において、つねにg(x)<mとなるようなaの値の範囲を求めよ。

解法から教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

(2)f(x)=(x-1)^2-1+2a^2よりy=f(x)は頂点が(1,-1+2a^2)で軸の方程式がx=1である下に凸の放物線であることがわかります。

軸がx=1で動きません。
a≦x≦a+1は区間幅が1で固定値ですけど、aの値によって定義域が左右にずれます。
（「aは0<a<2を満たす定数とする」はあとで考えればいいです。）

このことをグラフを描いて確認してください。

そうすると、aの値によってy=f(x)の最小値が変わることがわかると思います。

それで、ざっくりと場合わけしてみると、
たとえば定義域の右端に注目して
i　a+1<1のとき（定義域の右端が軸の方程式x=1よりも左側にある場合です）、すなわちa<0のとき、
x=a+1のとき最小値f(a+1)=・・・計算してまとめます　となる。

ii　1≦a+1<2のとき、すなわち0≦a<1のとき、
x=1のとき最小値f(1)=-1+2a^2　となる。

iii a+1≧2のとき、すなわちa≧1のとき
x=aのとき最小値f(a)=・・・計算してまとめます　となる。

y=f(x)のグラフ（図は軸がx=1であることがわかれば十分です）と区間幅が1の領域を左右に動かしながらaがどういうときにy=f(x)がどういう最小値をとるかを調べてください。

それで仮定より0<a<2なので、
iは範囲外なのでこの問では考える必要なし
iiはそのまま解
iiiはa≧1を1≦a<2と上限をつけます。