不等式の条件、2次関数

質問

まったくわからないので教えてください。

問
f(x)＜y＜g(x)・・・・・○において

(1)あるyに対して○がxの値にかかわらず成り立つ。

(2)どのようなxが与えられてもそのxに応じて○が成り立つようなyが存在する。

条件をそれぞれ求めよ。

ややこしくてまったくわかりません。最大値とか最小値で考えるのですが、なにを基準に(1)(2)を判別するのでしょうか。(1)はxが不等式の両辺で共通、(2)はx1,x2のように共通でないというようなことはすごくあいまいですが理解しました。

お願いします。

回答No.4

arrysthmia

(1)が成り立つような f,g では、(2)も成り立つ
ことは、分かりますか？

(2)は成り立つけれど、(1)は成り立たない例は、
f(x) = - (x - 2)^2 + 1
g(x) = x^2
などイロイロあります。

これと、(1)が成り立つ例
f(x) = - (x - 2)^2 - 1
g(x) = x^2
のグラフを見比べてみれば、
感ずるものがあるのではないかと思います。

是非、実際に描いて、眺めてみて下さい。

回答No.3

kumipapa

（１）
ある y に対して f(x)＜y＜g(x) が x の値に関わらず成り立つ、ということは、
任意の x に対して、f(x)＜y＜g(x) となる定数 y が存在するということ。
ということは、
任意の x に対して f(x) ＜ y ⇔　f(x)の最大値＜ y
かつ
任意の x に対して y ＜ g(x)　⇔ y ＜ g(x)の最小値
であるから、このような定数 y が存在するためには、
f(x)の最大値 ＜ g(x)の最小値
であることが必要だし、これが成立すれば題意を満たす y は存在する。
ということで、（１）の場合は、
f(x)の最大値 ＜ g(x)の最小値
となるようにすればよい。

（２）
任意の x に対して、x に応じて f(x) ＜ y ＜ g(x) が成り立つような y が存在する、ということは、y は定数ではなくて x の値とともに変化する数値（即ち、xの関数）である。
単純に 任意の x に対して f(x) ＜ g(x) が成り立つことが必要十分条件なので、そうなる条件を求めればよい。（f(x) ＜ g(x) が成り立てば、例えば y(x)=(f(x)+g(x))/2 によって題意を満たすyを作れる）
このとき、f(x)の最大値がg(x)の最小値より大きくても構わないことに注意。f(x)が最大となるのが x=α のときとすると、f(α) ＜ g(α)であればよく、必ずしもf(α)がg(x)の最小値より小さい必要はない。適当にグラフを書いて考えてみよう。

＞ (2)はx1,x2のように共通でないというようなことはすごくあいまいですが理解しました。
どのように理解したのでしょうか？間違いです。yはxの値に応じて変化してよいのだから、f(x)＜y＜g(x)の2つのｘは当然同じ数値で考えなければだめです。
（１）もf(x)＜y＜g(x)の式の x は同じ数値ですが、（１）の場合はyは定数なので、
任意の x1 に対して f(x1)＜y
任意の x2 に対して y ＜g(x2)
だから 任意のx1, x2 において f(x1)＜y＜g(x2)　が成り立つ。
故に、f(x1)≦f(x)の最大値＜g(x)の最小値≦g(x2)
となるように何かを定めるのです。

回答No.2

tono-todo

質問の意味がよく理解できませんが、最大値、最小値で解法できるのではないですか？
(1)と(2)を判別する・・？？
意味が分からん。
(1)と(2)は全然別物だから、判別もへったくれもない。
(1)を解き、それで終わり
その次に(2)を単独で解いて、すべて終わり。

回答No.1

koko_u_

>最大値とか最小値で考えるのですが、なにを基準に(1)(2)を判別するのでしょうか。
そういった「暗記のためのキーワード」ばかり覚えるのはやめましょう。

まずは f(x)、g(x) のグラフを書いて、(1)、(2)の意味することを考えましょう。