２次不等式、判別式

質問

２次不等式の問題でつまずいています。

次の条件を満たすmの値の範囲を定めよ。
(1)　xのすべての値に対して　x^2 + mx +2 >= -x^2 + 2x
(2)　x1，x2 のすべての値に対して　(x1)^2 + mx1 + 2 >= -(x2)^2 + 2x2

教えて下さい。。。

回答No.2

mister_moonlight

不等式の問題は、実は最大値と最小値の問題だ、という事を認識していると良い。

(1)　グラフで解いても良いが、計算だけでも解決する。

左辺に集めると、2x^2 -(2-m)x +2≧0　が　xのすべての値に対して成立すると良い。
x^2の係数＞0より　判別式≦0　が条件。

(2)　こちらの問題の方が面白いし、考えるところがある。

(解法-1)

αとβに書き換えておく。
左辺に集めると、(α＋m/2)＾2＋(β-1)＾2＋(4-m＾2)/4≧0　が　任意のαとβに対して成立する。
(α＋m/2)＾2≧0、(β-1)＾2≧0　より　4-m＾2≧0

(解法-2)

(α)^2 + mα + 2 ≧ -(β)^2 + 2β　だから、左辺の最小値が右辺の最大値より大きければ良い。
左辺を平方完成すると、最小値は　(8-m＾2)/4.右辺の最大値は、平方完成すると　1.
従って、(8-m＾2)/4≧1.

回答No.1

Tacosan

どこまでできてどこで困っている?

補足

(1)は左辺の式を移項して一つにまとめて、
　　判別式＜０
　を解くのかなぁ…？（自信なし）
　というところです。

(2)はさっぱりです。