2次関数と不等式の問題です

質問

2次関数と不等式の問題です

2次不等式x^2-4x+3<0,,,(1)と2次関数f(x)=x^2-2ax+a+2(aは定数)がある

(1),(2)は分かっているので省略

(3)y=f(x)のグラフが1<x<3の範囲でx軸とただひとつの共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ

(3)なのですが

(1)を解いた1<x<3を使ってとくのですが

f(x)=(x-a)^2-a^2+a+2
の軸が定義域内でx軸と接するときは-a^2+a+2=0であればよいから 因数分解して a=2...(α)が適する

またf(1)f(3)<0 より

11/5<a<3...(β)
となるのですが解答にはまだ先があるらしく残りがわかりませんので続きの解答を分かりやすくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight

断っておくが、重解は「解の個数が2個」と解釈するなら、a＝2　の場合は除外される。

私は「重解は、解の個数が2個」と解釈する立場なので、a＝2　の場合は除外されると思うが。。。。？

回答No.3

mister_moonlight

先ほどの解が解りにくければ、別解を示そう。

x^2-2ax+a+2＝0　→　x^2+2＝2a(x-1/2)と変形すると、放物線：y＝x^2+2　と　直線：y＝2a(x-1/2)のグラフが　1<x<3の範囲でただ1つの交点を持つためのaの条件を求める事になる。

この直線は定点(1/2、0)を通る傾きが2aの直線。
一方、y＝x^2+2の放物線の1<x<3で交点を1個だけ持つと良い。(xは両端の3と1は除外する)

そこで、直線を動かしてみると、点(1、3)を通るときはa＝3　、点(3、11)を通るときはa＝11/5である事に注意すると、点(1、3)を通るときは　1<x<3　に交点はなく、点(3、11)を通るときは1<x<3で1個の交点を持つ事はグラフから判断できるだろう。従って、11/5≦a＜3。
もちろん、放物線と直線が接するのは、a＞0は明らかだから、判別式＝0からa＝2と解る。

以上からも、先の解答になる事が確認できる。

回答No.2

mister_moonlight

y＝x^2-2ax+a+2とy＝0(x軸)とを連立すると、f(x)＝x^2-2ax+a+2＝0となる。
題意を満たすには、大別して次の2つの場合がある。

(1)　x軸に接し、その接点が1<x<3のある場合
判別式＝0から、a＝2、or、-1
a＝2の時、方程式は　(x-2)＾2＝0となるから、接点は　x＝2　より条件を満たす。
a＝-1の時、方程式は　(x＋1)＾2＝0となるから、接点は　x＝-1　より不適。

(2)　x軸に接しないが、その交点が1<x<3にただ1つある場合

この場合は、結構面倒になる。簡単にはいかない。
なぜなら、両端の処理が慎重を要するから。
＃1さんはぜんぜん気がついてないが。。。。ｗ

方程式の2解をα、β(α＞β)とすると題意を満たすには次の3つの場合がある。
(1)　β＜1＜α＜3、or、1＜β＜3＜α　の時、これは　f(1)f(3)<0　→　11/5<a<3
(2)　β＝1、1＜α＜3の時、β＝1からa＝3　この時、方程式は(x-1)*(x-5)＝0　から不適。
(3)　α＝3、1＜β＜3の時、α＝3からa＝11/5　この時、方程式は(5x-7)*(x-3)＝0　から　5x-7＝0が条件を満たすから、解の一部。

よって、以上から　a＝2、11/5≦a＜3　が求める答え。

回答No.1

Mr_Holland

＞解答にはまだ先があるらしく残りがわかりませんので続きの解答を分かりやすくお願いします。

　続きと言えるほどのものか分かりませんが、こんなところではないでしょうか。

　「以上をまとめると、（α）または（β）なので　求める答えは　a=2 または 11/5<a<3 となります。」