2次不等式の範囲

質問

『２つの２次不等式、X^2－５X－６＞０…(1)、(X－１)(X－a)＜０…(2)について、次の条件を満たすように定数aの値の範囲を求めよ。条件：(1)と(2)を同時に満たすXの整数値がただ１つ存在する』という問題がありました。
(1)でX＜－１、６＜X　
(2)で１＜X＜aまたはa＜X＜１
以上から、－３＜a≦－２、７≦a＜８と答えたのですが、解答では－３≦a＜－２、７＜a≦８となっていました。
(1)(2)を同時に満たす整数値というのはつまり－２か７にしたいわけですよね？解答のように－３と８にイコールのついた不等号をつかうと－３や８もXがとりうる値になってしまい、－２と－３、７と８、のように２つ存在することになってしまうと思うのですが。僕の考え方のどこが間違っているのでしょうか？

回答No.4

take_5

この手の問題は、計算だけでは混乱しやすいのでグラフを使う事を進める。

簡単のために、xを通常のy軸に、aを通常のx軸にとる。
そして、X^2－５X－６＞０…(1)から、x＞6、or、x＜-1‥‥(3)をax平面上にとる。
(X－１)(X－a)＜０…(2)から、x-1＞0、x-a＞0、or、x-1＜0、x-a＜0の2通り‥‥(4)が考えられる。
後は(3)の範囲で(4)が「Xの整数値がただ１つ存在する」為のaの条件を考えると、グラフから簡単に－３≦a＜－２、７＜a≦８となるのが分るでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
(1)X＜－１、６＜X　
(2)１＜X＜aまたはa＜X＜１
この2つの条件にaを当てはめずに考えていました。
参考になりました。ありがとうございます。

回答No.3

0lmn0lmn0

この問題は、最初に考えた答と正解が逆になるのが特徴です。
何度出あっても、直感が働きません。
終いには、直感の答と正解が逆、と覚えてしまうくらいです。
それでは、あんまりなので、確認作業をします。

しかし悪い事に、
直感の答に、疑問を感じれば、確認作業をしますが、
疑問を感じなければ確認作業の必要を感じません。

その意味で、一度出会えば、次回からは確認作業を
するようになると思うので、出会って良かったと思います。

それほど、この問題は参考書などには必ず記載されています。
また著名な形にも拘わらず、出題されます。

経験的には、この問題は発展性がなくて、この問題だけで完結している気がしてなりません。

単に受験生を罠に落とすような感じがして、良問とは言えないのですが、避けて通れない問題とも言えます。

半分だけ書いて見ます。

　　　　　　　　　　　　　－１　　　　　　　　　　　　　　　
―――――――――○----------------------------------略

　　－３　　ａ　 －２　　　　　　　　　　　１
------□======□――――――――○------------------

整数値は－２ですね。
　ａは、およそ－３と－２の間に来ます。

　　－３　　ａ　－２　　　　　　　　　　　　１
------○======●――――――――○-----------（直感の図）

ａ＝－２　とすると、
　　-2＜x＜1 となって、整数値（－２）は含まれません。
　比喩的に表現すると、
　ａは（－２）より、ほんの少しばかり、小さくてはならない。

ａ＝－３　であっても、
-3＜x＜1 となって、唯一の整数値（－２）が含まれます。
　比喩的には、（－３）＜ａでは、ほんの少しばかり、大き過ぎる。

結局、題意を満たすのは、

　　－３　　ａ　－２　　　　　　　　　　　　１
------●======○――――――――○-----------（正解の図）

となります。

お礼

回答ありがとうございます。
aとXをごっちゃにしていました。
すっきりしました。ありがとうございます。

回答No.2

ency

一気に考えようとせず、順番に考えて見ましょう。

(2) の解 a<x<1 のほうを見てみますと、
(1) の解と (2) の解から、ただ1つの整数値を解として持つためには

a<x<-1…(*)

であれば良いですよね。
では、(*) がただ1つの整数値を解として持つためには a の範囲はどうなるでしょうか。
i-tadさんのおっしゃるとおり、こちらからは -2 のみを解として持つように a の範囲を求めてあげれば良いのですが、そう考えると

-3≦a<-2

となることがわかると思います。
# どうしてそうなるかは、ちょっと考えてみてくださいね。
# 数直線を書いて、a<x<-1 が -2 のみを解として持つように a を動かしてみてください。
# あるいは 0.1 ずつ a の値を動かしてみて、a<x<-1 の式に代入して -2 のみを解に持つ a を確認してみるのも良いかもしれません。

ここがわかれば、(2) の解が 1<x<a のほうから求まる a の範囲もおわかりになるのではないかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
＞# 数直線を書いて、a<x<-1 が -2 のみを解として持つように a を動かしてみてください。
aが－２だとXが整数値をとれないので、－３＜a≦－２はおかしいということはわかりました。数直線をかいてみたのですが、やっぱり解答の－３≦a＜－２も納得できません。－３≦X＜－１ならばX＝－３、－２の二つになりませんか？

回答No.1

age_momo

a=7の時を考えれば明らかですね。
Xの範囲は

6 < X < 7

となってXは整数値を持てません。
Xが整数を持つようにaの範囲を決めていることを忘れないでください。

お礼

回答ありがとうございます。
確かにa＝７を考えるとXは整数値をとれないので、７≦a＜８はおかしいのですが、その一方で７＜a≦８だと、Xのとりうる整数値は６＜X≦８となり、X＝７，８の２つになると思うのですが、何か間違っていますか？