特殊解が解りません。(文字化けを修正しました)

質問

特殊解が解りません。(文字化けを修正しました)

右辺がe^xなので困っています。
強引に解いてみたのですが、間違っていると思います。お知恵をお貸しください。

以下問題です
x^2y''-5xy'+8y=e^x

一見するとオイラー方程式ですので、
ax2y” + bxy’ + cy = r(x)に対してx=e^tとすれば、
ay''+ (b - a)y' + cy = r(e^t)　< この'はtによる微分を示します>　を利用します。

x=e^tとしてx^2y''-5xy'+8y=e^x はy''-6y'+8y = e^e^tです。…(1)
特性方程式　u^2-6u+8=0 より u=2,4

一般解がC1e^(2x)+C2e^(4x)　<C1とC2は任意定数>　と思われます。

特殊解ですが、ここから解りません…orz
取りあえず、(０次式) e^e^tの形になるとして、…(2)
y=A e^e^t
y˙=A e^e^t・e^t
y¨=A e^e^t・e^t(1+e^t)
(1) に代入して、
e^e^t＝Ae^e^t・e^t(1+e^t)-6Ae^e^t・e^t＋8Ae^e^t　,
1= Ae^t(1+e^t)-6Ae^t＋8A
=A(e^(2t)-5e^t+8)

A=1/(e^(2t)-5e^t+8)

特殊解は(2)より{1/(e^(2t)-5e^t+8)}e^e^t= e^e^t /(e^(2t)-5e^t+8)

∴微分方程式の解は
C1e^(2x)+C2e^(4x)+e^e^t /(e^(2t)-5e^t+8)
どこか無理のある解になってしまいました。もう少し、綺麗な解になると思うのですが…

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

常数変化法を用いて積分常数を含む一般解を求めようとしてみたのだが、積分解に指数積分が出てきてしまい、初等関数では表す事が出来ないように思う・・・！

当方が計算してみると

y = C1・x^2 + C2・x^4 + (α1)/12・{(1+x)・e^x + I[-1]} - (α2)/48・{(6 + 2x + x^2 + x^3)・e^x　+ I[-1]}
(ここでI[-1] = ∫(e^x/x)dx = Ei[x])
C1,C2,(α1)(α2)は常数

（因みに特殊解は、質問者様が使っているオイラー微分方程式の右辺=0と置いた斉次式から求まるのでは・・・？）

お礼

特殊解と一般解の意味を逆に覚えてました…orz

指数積分を使う方向で再度熟考します。
参考になります、有難うございました。