微分方程式の一般解を求めよ、という問題に対する回答の書き方が分かりませ

質問

微分方程式の一般解を求めよ、という問題に対する回答の書き方が分かりません。
問題集を買って自主勉強している上での疑問です。

例えば、同次型の
y^2+(x^2-xy)y'=0
という方程式を変形していき、
(1)y/x=log y +C
という関係式まで出たとします。
さらにこの式は次のように変形できます。
(2)e^(y/x)=y*e^C
(3)e^(y/x)=y*C'　　C'=e^Cとおいた
(4)y=e^(y/x)*C''　　C''=1/C'とおいた　

(1)～(4)のうち、回答として不適切なものはありますか。
どのような書き方が一般解を求めよという問題に対する適切な回答なのでしょうか。
また、例えば(yの式)=(xの式)にするなどの、回答を書くうえでの定まった指針はありますか。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

これが決定版！てのを思いつかない。

積分定数によらず、解は (x,y)=(0,0) を通るから、
y~x = C e~y は、0~0 が定義できなくて、アウト。
y = C e~(y/x) も、0/0 の問題が残る。

ベストとは言えないけれど、私的には、
一般解 x = y/(C+log｜y｜) と
特異解 y ≡ 0 の併記かなぁ。
一般解は、x = lim[t→y] t/(C+log｜t｜) の略記
と解釈して、可除特異点を除去する。

お礼

ご回答ありがとうございます。
答え方にも様々あるんですね、参考になりました。

回答No.3

alice_44

(1)
式に log y が残っていると、
自明な解 y = 定数関数 0 を表現できない。

(2)～(4)
式に y/x が入っていると、
定義域が x = 0 を含むことができない。

じゃあ、どう書けばよいかというと…
さて、どうしよう？

補足

新たな観点からのご回答、ありがとうございます。

仰られる通りに変形をすれば
(4)y=e^(y/x)*C''
の両辺をx乗して
y^x=(e^y)*C
となりました。

すべての場合を出来る限り含むことを意識する、という観点はとても合理的に思えます。
では、すべての場合を出来る限り含むことを意識した答え方なら、どのような書き方でもよいのでしょうか。

また、因みに参考書の模範解答は(4)のy=e^(y/x)*Cの形でした。
参考書の解答はあまり適切でないとの判断でよろしいでしょうか。

回答No.2

Tacosan

「不適切」ということはないけど, (2) はちょっとどうかと思う. 「なんでここで止めるの?」って感じてしまう.
個人的には, #1 とほぼ同案なんだけど
(1) y/x=log y +C
から
(1') y/(log y + C) = x
がいいと思う. 分母を log y + C とするか log (Cy) とするかについては好みもあるけど.

補足

ご回答ありがとうございます。
(2)e^(y/x)=y*e^C
に違和感を感じられるのは、任意定数をまとめきれていないからですよね。

その他の答え方は全て許容（不適切ではない）ということでよろしいでしょうか。

また、
(1') y/(log y + C) = x
を導かれたのは、おそらく(yの式)=(xの式)の形を考えられたと思うのですが、こういった形に定石のようなものはあるのでしょうか。
(yの式)=(xの式)にできない場合も含め、ご存知でしたらお教え下さい。

回答No.1

noname#185706

x = y / (ln(y) + C)
　= y / (ln(y) + ln(C'))
　= y / ln(C' y)
として、あらためて C' を C とおきなおすとすっきりします。

>例えば(yの式)=(xの式)にするなどの

できればそうした方がわかりやすいと思いますが、それがいつも最良の表現であるかどうかについては、私にはわかりません。

補足

ご回答ありがとうございます。
確かに、この場合は(yの式)=(xの式)と出来るのでそうした方が感覚的にはより良い回答に見えますね。
この形にする具体的な理由はあるのでしょうか。

また、必ずしも全ての微分方程式が(yの式)=(xの式)に出来るとは限りません。
例えば、ある微分方程式を
2x-y-15log(3x-y+19)=C
の形まで変形したとき、これ以上変形する必要があるのか疑問です。