微分方程式

質問

y’-2/xy = xy^3 は y’/y^3-2/x*1/y^2と変形できる。
ここで、1/y^2 = uとおくと、この微分方程式はx、uに関する1階線形になることを示せ。
次にそれを解くことにより、この微分方程式の一般解を求めよ。

この問題を教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

与えられた方程式を次のようであるとします．

y'-(2/x)y-xy^3=0

u=y^{-2}とおくと，

u'=-2y^{-3}y'=-2y^{-4}yy'=-2u^2yy'
y'=u'/(-2u^2y)

∴u'/(-2u^2y)-(2/x)y-xy^3=0 (-1/2)u'/u^2-(2/x)y^2-xy^4=0
(-1/2)u'/u^2-(2/x)(1/u)-x(1/u^2)=0

(☆)u'+(4/x)u+2x=0

まず，この同次形

u'+(4/x)u=０

の一般解を求める．

u'/u=-4/x∴∫u'dx/u=-4∫dx/x,logu=-4log|x|+C,logu=log(e^C/x^4)
u=e^C/x^4

e^C=Aとおくと

u=A/x^4=Ax^{-4}

そこで定数変化法によって

u=A(x)x^{-4}とおくと，

u'=A'x^{-4}+A(-4)x^{-5}=A'x^{-4}-4u/x

☆に代入すると

A'x^{-4}-4u/x+(4/x)u+2x=0　A'x^{-4}+2x=0 A'=-2x^5 A(x)=B-x^6/3

∴u=(B-x^6/3)x^{-4}

∴y=±√(1/u)=±x^2/√(B-x^6/3)（Bは定数）