2階の非同時線形微分方程式の特殊解

質問

2階非同時線形微分方程式を解いているのですが、わからない点があるため教えてください。一般解はわかるのですが、特殊解が答と一致しません。どこが間違っているか教えてください。

問1　y''+y'-6y=10e^(2x)
特殊解を求めると
y0=ae^(2x)とおくと
y0'=2ae^(2x)
y0''=4ae^(2x)
よって、4ae^(2x)+2ae^(2x)-6(ae^(2x))=10e^(2x)
となり、左辺が0になってしまうのですが、どこを直せばいいでしょうか。
答では2xe^2xが特殊解になっています。

問2　y''+y'=x+2
特殊解を求めると
y0=ax+b　とおくと
y0'=a
y0''=0
よって、a=x+2
となり、y0=x^2+2xとなったのですが、答えではy0=(1/2)x^2+xとなっています。どこが間違えているか教えてください。

問3　y''+y=5e^xcosx
特殊解を求めると、
y0=e^x(acos+bsinx)
y0'=e^x(-asinx+bcosx)
y0''=e^x(-acosx-bsinx)
よって、
e^x(-acosx-bsinx)+e^x(acos+bsinx)=5e^xcosx
となり、問1同様左辺が0になってしまいます。
答では特殊解はe^x(cosx+2sinx)となっています。

問題が多くて申し訳ありませんが、回答お願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

えぇと, この方法は定数変化法を簡略化したものなので, 定数変化法をきっちりとやれば解けるはずです. もっというと, 「線形化して得られる微分方程式の解」と非線形項が一致すると, もうちょっと複雑な手順になります.
順にいくと
・問1: 上の通り. ちゃんと定数変化法を使えば解けますし, どうしても特殊解を求めたいなら y = (ax+b) e^(2x) という形を仮定すれば OK. なぜ 1次式がかかるかというと, 特性方程式 λ^2 + λ - 6 = 0 の解として λ = 2 が重複度1 なので, 非線形項より (重複度である) 1 だけ次数の高い式を仮定することになるからです.
・問2: 本質的には問1と同じ. 処理としては「a を定数とおいたはずなのに, なぜか最後に x を含む式にしちゃってる」というところがおかしい.
・問3: ただの計算ミス. ちゃんと微分してください.

お礼

時間はかかりましたが、なんとかできました。ありがとうございました

回答No.2

pascal3141

問1のみ説明します。y0=ae^(2x)とおく時の、aもｘの関数になりうるので、y0'＝(a'+2a)e^(2x)、y0'’＝(a''+4a'+4a)e^(2x)、よって、代入して、e^(2x)の係数比較でa''+5a'=10が出る。この特殊解が、2xなので、2xe^2xが求める特殊解になります。このように係数が定数ではなくxの関数になりうることも考えなくてはなりません。問２・問３も同じようなミスでしょう。考えてください。