一般解を求める。

質問

一般解を求める問題です。

2x+y+(x-2y)y'=0
同時形を使って解いたのですが
途中 y=ux y'=u+xu'とし
　　u'(1-2u)/((2u^2)-2u-2)=1/xを
　　両辺-2を掛けて積分して解をもとめたところ
　　(-y^2)+xy+x^2=cとなりました。
　　しかし、模範解答は
　(y^2)+xy+x^2=cです。
　　なにが違うのでしょうか？？

回答No.4

guuman

この問題をシステマチックに解く

dy/(y+2・x)=dx/(2・y-x)
を=dsと置く

[x']
[y']
=
[+2 +1][x]
[-1 +2][y]
（'はsの微分）

x=x(s)
y=x(s)

となり媒介変数形式で解が求まる

しかも線型方程式!!!!
sを消去してもよいがしないようほよい

回答No.3

eliteyoshi

No.2です。

u'(1-2u)/((2u^2)-2u-2)=1/x
↓
u'(2u-1)/(u^2-u-1)=-2/x
↓
(2u-1)/(u^2-u-1)du=-(2/x)dx
↓
∫(u^2-u-1)'/(u^2-u-1)du=-(2/x)dx
↓
log|u^2-u-1|=-log(x^2)+c (c:定数)
↓
log|u^2-u-1|x^2=c
↓
(u^2-u-1)x^2=C' (C'=±e^c)
↓　u=y/xより
y^2-xy-x^2=C'
↓
-y^2+xy+x^2=C (C=-C')

どこかで計算ミスしてるだけじゃないですか？

回答No.2

eliteyoshi

自分が計算したら、
y^2-xy-x^2=C
となりました。質問者殿と同じです。
模範解答が間違っていると考えられます。

お礼

返信ありがとうございます。
下記でもかいたように入力にミスがありました。すみません。

回答No.1

age_momo

どちらが正しいかは微分してみればすぐ分かりますね。

質問者さんの回答が正しいように思います。

(-y^2)+xy+x^2=c　⇒　-2yy'+y+xy'+2x=0　⇒　2x+y+(x-2y)y'=0

(y^2)+xy+x^2=c　⇒　2yy'+y+xy'+2x=0　⇒　2x+y+(x+2y)y'=0

お礼

返信ありがとうございます。
すみません、入力にミスがありました。
自分の答えが
2(y^2)-xy-2x^2=Cとなりました。
模範解答は　(-y^2)+xy+x^2=cです。