対偶を用いた証明です

質問

対偶を用いた証明です

自然数a、b、cがa^2+b^2=c^2を満たすとき、a、bのうち少なくとも1つは3の倍数である

という問題なのですが、
解答が次の通りで
全く理解出来ませんでした(;_;)…

aが3の倍数でないとき
実数Ｋを用いてあらわすと
a^2=3k+1

bも同様にして
実数ｍを用いてあらわすと
b^2=3m+1

a^2b^2=3k+1+3m+1
　　　=3(k+m)+2
k+mは実数であるので
c^2を3でわったあまりは
0または1であるので
a^2b^2≠c^2

対偶が真であるので
命題も真である

なのです、、
私にはさっぱりでした
どなたか解説お願いします！

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ａが３の倍数でないということは、ａ＝３ｎ＋１、あるいは３ｎ＋２　（ｎは整数）と表されるということで、これらを二乗すると９ｎ＾２＋６ｎ＋１、あるいは９ｎ＾２＋１２ｎ＋４となり、これらを３で割った余りはいずれも１になるのでａ＾２＝３ｋ＋１と表すことができます。ｂが３の倍数でない場合も同じです。よってａ＾２＋ｂ＾２を３で割った余りは２となります。
　一方ｃについて考えると、
（１）ｃが３の倍数の場合：ｃ＾２も３の倍数
（２）ｃが３の倍数でない場合：ｃ＾２を３で割った余りは１（上記のａ、ｂの場合と同じ）

　以上より、ａとｂの両方を３の倍数でないとするとａ＾２＋ｂ＾２≠ｃ＾２ということになります（３で割った余りが一致しない）。

　この対偶をとるとａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２ならばａとｂの少なくとも片方は３の倍数であるとなります。

回答No.4

htms42

整数ａが３の倍数ではない時の表し方を
　ａ＝３ｋ＋１、３ｋ＋２　　（ｋ　整数）
ではなくて
　ａ＝３ｋ±１　（ｋ　整数）
とすればもっと見やすくなるのではないでしょうか。
　ａ^2＝(３ｋ±１)^2＝９ｋ^2±６ｋ＋１＝３ｋ'＋１　（ｋ'　整数）

同様にしてｂが酸の倍数でない時は
　ｂ^2＝３ｍ'＋１

ａ、ｂがともに3の倍数でない時
　ａ^2＋ｂ^2＝３(ｋ'＋ｍ')＋２

右辺のｃ^2は　３ｎ'　か　３ｎ'＋１　のどちらかですから「ａ，ｂがともに３の倍数でない」は成り立ちません。

※「さっぱりです」とか「全然分かりません」という言葉を使った質問が目につきます。
こういう質問には答えようがありません。

３の倍数、３で割り切れない数の表し方の段階で分からないのか
二乗についての表現が分からないのか、
場合分けで分からなくなったのか、
対偶という論理構造が分からないのか、
自然数、整数、実数の区別が分からないのか、

回答者はこういうことを推測しなければいけなくなります。

分からないと言えば丁寧に全部答えてくれると思っておられるのではないでしょうね。

この部分が分からないとか、ここまでは分かっているということを書いて下さい。

お礼

ありがとうございました

回答No.3

kabaokaba

解答・・・言葉足らずだし，論証が甘いし，
整数でなければいけないところが実数になってるし
質問者のタイプミスは除いても
私が採点するなら，
10点中最低でも6点くらいは引くな．

証明する命題は
「自然数a，b，cに対して
aとbがともに3の倍数でないならば
a^2+b^2=c^2とはならない」

aが3の倍数ではないならば
a=3k+1，3k+2（kは0以上の整数）と表せる
このとき，
a^2 = 9k^2+6k+1 = 3(3k^2+2k)+1
または
a^2 = 9k^2+12k+4 = 3(3k^2+4k+1)+1
であるので，a^2を3で割った余りは1である．
すなわち，
a^2=3k'+1 (k'は0以上の整数）と表せる．
同様に
bも3の倍数ではないので
b^2=3k''+1 (k''は0以上の整数）と表せる．

したがって，
a^2+b^2 = 3(k'+k'') + 2
である．
a^2+b^2=c^2であるので
c^2=3(k'+k'')+2 (k'+k''は0以上の整数)
つまり，c^2を3で割った余りは2である．
ここで，もしcが3の倍数であったならば
c^2も3の倍数であるので余りが2になることはない．
したがって，cは3の倍数ではない．
すると，この証明の最初の部分と同様にして
c^2を3で割った余りは1である．
よって矛盾．
したがって，a^2+b^2=c^2とはならない

お礼

ありがとうございました

回答No.2

Quattro99

3の倍数でない自然数は、3で割ると余りが1か2である自然数です。このどちらも2乗したものを3で割ると余りが1になります（証明は略します。確かめてみてください）。
このことから、
> aが3の倍数でないとき、実数Ｋを用いてあらわすとa^2=3k+1
と置くことが出来ます。
また、
> c^2を3でわったあまりは0または1である
これも上記のことから言えることです（cが3の倍数ならc^2を3で割った余りは0であり、3の倍数でないならc^2を3で割った余りは1です）。

解説ではこのことを当然のこととしているようですが、実際の答案では証明した方がよいように思います。

お礼

ありがとうございました