背理法を用いた、整数問題の証明

質問

a,b,cは整数とし、a^2+b^2=c^2とする。a,bのうち、少なくとも１つは３の倍数であることを証明せよ。
　という問題について質問します。

a,bはともに3の倍数でないと仮定する。
このとき、a=3n+1,b=3m+1(n,mは整数）とおく。
a^2=3(3n^2+2n)+1
b^2=3(3m^2+2m)+1
ただし、3n^2+2n,3m^2+2mは整数。
よってa^2,b^2を３で割った余りはともに1である。

※
a^2+b^2=3(3n^2+2n)+1+3(3m^2+2m)+1
=3(3n^2+2n+3m^2+2m)+2
3n^2+2n+3m^2+2mは整数である。
したがって、a^2+b^2を３で割った余りは２である。

一方、cが3の倍数のとき、c^2は3で割り切れ、
cが3の倍数でないとき、c^2を3で割った余りは1である。
すなわちc^2を3で割った余りは0か1である。
※

よって、a^2+b^2=c^2において、
左辺は3で割ったときの余りが２、右辺は3で割ったときの余りが0か1
であるから矛盾する。
ゆえに、背理法よりa^2+b^2=c^2ならば、a,bのうち、少なくとも1つは3の倍数である。

このように解答したのですが、※と※の間の部分に対して数学の先生から、不十分というコメントを書かれてしまいました。

どこが不十分なのか分かる方がいらっしゃいましたら、教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします！

回答No.3

waseda2003 · ベストアンサー

上の解答は，「a，bがともに３で割ると１余る」だけは証明して
いますが，「a，bの一方が余り１，他方が余り２」，「a，bがともに
余り２」の場合が抜けています。また，強いて言えば
　　＞左辺は3で割ったときの余りが２、
　　＞右辺は3で割ったときの余りが0か1
の部分も理由説明が抜けています。

本質的な部分は正しいので，不足分だけ補えばよいでしょう。
ただ，同じようなことを何度も書くのは大変なので，まず
一般に平方数を３で割ると余りはどうなるかを最初に述べておく
とよいでしょう。
　　　(3m)^2 = 3(3m^2)，
　　　(3n±1)^2 = 9n^2±6n+1 = 3(3n^2±2n)+1
より，３の倍数の平方は３の倍数，３で割り切れないものの平方
は３で割ると１余るとまとめることができます。
（余りが２のときは 3n+2 としてもよいのですが，
3n-1 としておくと上のように少ない労力で済みます。）
あとは，aもbも３の倍数でないならa^2，b^2はともに３で割ると
１余るからa^2+b^2を３で割ると２余り，c^2は３で割ると余りは
０または１となる（最初に一般論をまとめておくと改めて示す
必要はなくなる）から，・・・・・・（以下略）

ちなみに・・・

＞3(3n^2+2n+3m^2+2m)+2の平方根が整数でなければならない
余りで矛盾しているので，平方根が整数であろうとなかろうと
成り立たないことには変わりないので，この議論は不要です。

＞背理法なんだから、a, b, c すべてが 3 の倍数でないと仮定
＞すれば良い
a，bが３の倍数でないときcも３の倍数でないことは証明が必要です。
3104akaさんの答案通り，「a,bはともに3の倍数でないと仮定する」
でよいと思います。

お礼

とてもわかりやすい解答ありがとうございました！

回答No.4

take_5

解法は指定されていないようだから、無理して背理法を使わず、剰余系（余りによって分類する）を考えた方が簡単だろう。

3を法とする。
整数nに対してn≡0とするとn＾2≡0、n≡1の時n＾2≡1、n≡2の時n＾2≡4≡1.
よつて、a^2＋b^2≡0、or、a^2＋b^2≡1、or、a^2＋b^2≡2。
しかし、c^2≡0、or、c^2≡1であるから、a^2＋b^2≡2は不適。よって、（a≡1、b≡1）、（a≡2、b≡2）にはなれないから、a≡0、or、b≡0であるから、aとbのうち少なくても一方は3の倍数。

お礼

このような解き方は知りませんでした。
参考になりました。ありがとうございました！

回答No.2

yumitsuki

3(3n^2+2n+3m^2+2m)+2
の平方根が整数でなければならない
という条件を満たしていないのが問題かと思われます。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

koko_u_

>このとき、a=3n+1,b=3m+1(n,mは整数）とおく。

余りが 2 のケースが抜けているのはご愛嬌として、
非常に見通しの悪い解答ですね。

背理法なんだから、a, b, c すべてが 3 の倍数でないと仮定すれば良いと思いますよ。

お礼

ありがとうございます！