背理法

質問

命題
"(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)ならば(a＾2)が３の倍数か、または(b＾2)が３の倍数である”が真であることを証明するとき

a=3k
a=3k＋1
a=3k＋2
より
それぞれ2乗すると余りは0または1
になりました。

このあとどのように求めるかおしえてください

回答No.4

Quattro99 · ベストアンサー

> 余りが０の時は求めないのですか？

「整数aも整数bも3の倍数でないとき、(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)が成り立つ整数cが存在する」
を否定することで証明しようとしています。

「ある整数を二乗した時、3で割った余りが0ならばある整数は3の倍数である」
これはご自分で導いたとおりです。

ということは、
「整数aも整数bも3の倍数でないとき」
は、
「(a＾2)も(b＾2)も3で割った余りが0でないとき」
と置き換えられます。ですから、「余りが0でないとき」だけを考えればよいのです。

回答No.5

graduate_student

下記URLを参照ください．
私の解答も載せています．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=939191

回答No.3

twins-mama

ポイントは次の３つです。
(ア)背理法を使う
p⇒qが真である事を背理法を使って示すためには、
qでないと仮定して、仮定pに矛盾を生じさせる
(イ)pまたはqの否定
結論がこの形になってます。
「pまたはq」の否定は「pかつq」
(ウ)整数の2乗を3で割った余りは０または１
＞a=3k
　a=3k＋1
　a=3k＋2
　より
　それぞれ2乗すると余りは0または1
　になりました。
とあるから分かってるようですね。

まず結論の否定から。
(a＾2)が３の倍数か、または(b＾2)が３の倍数である
の否定ですから
(a＾2)が３の倍数でない、かつ(b＾2)が３の倍数でない
となります。このとき、k,mを整数として、
a=3k＋1,a=3k＋2
b=3m＋1,a=3m＋2
と置けますから、a,bの組み合わせとしては次の4通りになります。

(1)a=3k＋1,b=3m＋1
(2)a=3k＋1,b=3m＋2
(3)a=3k＋2,b=3m＋1
(4)a=3k＋2,b=3m＋2

この4つの場合について、(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)
に矛盾が生じればいいことになります。
どう導くかというと、a,bにそれぞれ上の式を代入してc＾2にならないことを示します。最初に書いた
(ウ)整数の2乗を3で割った余りは０または１
を使いましょう。整数を3で割った余りは0か1か2ですから、3で割った余りが2であれば整数の2乗にはならないことになります。
ですから目標は
「c^2つまりa^2+b^2を3で割った余りは2」
を示すことです。

(1)だけ示しますので後は自分でやってください。
(1)a=3k＋1,b=3m＋1のとき
a＾2＋b＾2=(3k＋1)^2+(3m＋1)^2
　　　　　=9k^2+6k+1+9m^2+6m+1
　　　　　=3(3k^2+3m^2+2k+2m)+2
よってc^2を3で割った余りは2

補足

a＾2=3M＋１
b＾2=3N＋１
でそれぞれ足すと余りが２になって矛盾というのはわかったのですが、

a＾2を３で割ったときの余りは0か１で２はありませんが、
なぜ、
求めるときに
a＾2=3M
b＾2=3N
余りが０の時は求めないのですか？
０だと矛盾しないので、省略して
余り１の計算をしたのですか？

回答No.2

kurobe3463

背理法とは否定命題が矛盾することを証明することですよね．
「(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)ならば(a＾2)が３の倍数か、または(b＾2)が３の倍数である」
の否定命題が
「(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)であり，かつ，(a＾2)　も　(b＾2)も３の倍数でない」
となります．

(a＾2)　も　(b＾2)も３の倍数でないとき
両者とも3で割ると1余る数ということはわかったわけですよね．
これを足すと
(a＾2)+(b＾2)
を3で割ると 2 余ります．

左辺は 3 で割ると 2 余るような数であるということがわかりました．

ところが右辺 c^2 は平方数です．
平方数は3で割りきれない場合の余りが1 だったはずですよね．
つまり左辺の「3で割って余り2」と等しい平方数はないので，この等式
a^2+b^2=c^2
は矛盾しています．

否定命題が矛盾するので，元の命題は証明されました．

回答No.1

Quattro99

「3の倍数を二乗したものを3で割ると割り切れ、3の倍数でない整数を二乗したものを3で割ると1余る」ことがわかったわけですよね。
すると、3の倍数ではないものを二乗したものを2つ足すといくつ余ることになりますか？