背理法について

質問

整数a,b,cについて次の問いに答える

((1)）
(a＾2)を3で割った余りは0または1であることを示す
どのように求めるかわかりません。
背理法の説き方だと思うのですが、命題と書いてないのでよくわからないです。
もし、aが３の倍数でないとき
a=3k＋1

a=3k＋2

といえるがわかりません。

（(2)）
命題”(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)ならば、(a＾2)が３の倍数か、または(b＾2)が３の倍数である”
が真であることを示す。

これは、ちゃんと命題と書いてあるので背理法を求めればよいとわかります

a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)ではないとき(a＾2)が３の倍数でなく、かつ(b＾2)も３の倍数でなと仮定すれば矛盾が生じますが、
どのように求めるかわかりません。

お願いします

回答No.6

kony0

「なぜaを3k,3k+1,3k+2とあらわすのか」という問いの答えは、皆さんがすでに書かれていて、端的には
・#3さんのいう「すべての整数は次のＡ，Ｂ，Ｃの3通りに分類できるから」であり、
・#5さんのいう「a=1,2,...と代入してもキリが無いがa=3k+1とすると，aは3で割って1余る数，つまり，1,4,7,10…のように3で割って1余る数全てについて議論したことになる」
は疑いありません。

そもそも「なぜ整数を“３で割り切れるもの”“３で割って１余るもの”“３で割って２余るもの”の３つのグループに分けるのかの議論が今ひとつ欠けているようです。

こういうときはまず実験。

a=1,2,3,...と順に代入していくと
a^2=1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,...
a^2を3で割った余り=1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,...
となり、a^2を3で割った余りは
・「1,1,0」の周期性がある
・aが3の倍数のときは余り0、aが3の倍数でないときは余り1
である“だろう”と推測できます。

ここで、#5さんのいうとおり、これだけでは「すべての整数について証明したことにはなりません」（これはもう理解できてますか？）

じゃあどうやって「すべての整数について」証明するんだい！というと・・・先ほどの推測から
i)3の倍数のときは・・・
ii)3の倍数でないときは・・・
と考え方のシナリオを構築するのです。
（たとえ“知識”がなくとも“知恵”と洞察力をもって行き着くべし。こういう洞察力を養うことが、数学のお勉強が社会に出て役に立つところですから！）

さらに、「3の倍数でない」整数というものをさらに細分化させたものが「3で割って1余る」「2余る」というグループ分けに繋がります。

と言うことで問題。
(1)3の倍数を2乗した値を3で割った余りは0であることを示せ。
(2)3で割って1余る数を2乗した値を3で割った余りは1であることを示せ。
(3)3で割って2余る数を2乗した値を3で割った余りは1であることを示せ。
(4)平方数を3で割った余りは2にならないことを示せ。

(4)だけ回答。
「(1)～(3)より、題意は示せた。」

つまり、(4)だけを与えられたときに、自分で(1)～(3)の小問を作ることが必要なわけです。この小問が作れれば、あとはどうやって文字式を使って証明するかの問題にすぎません。そしてここではじめてa=3k+1やa=3k+2というものが出現するわけです。

回答No.5

graduate_student

なぜaの中に1,2…を入れようと思うのですか？
kにいろいろな数字を代入していくとaの値は一意的に決まってしまいます．
証明というものは一般性が大切です．
典型的な誤答例を以下に示します．
**********************************
a=5のとき，aは3で割って2余る数．
a=7のとき，aは3で割って1余る数．
以上より，題意は証明された．
**********************************
これではダメです．
この方法では，1以上の全ての整数に対して同じことをしなといけません．
つまり，解答用紙が何行あっても足りません．
これはa=5と7のときについてしか議論していません．
しかし，a=3k+1とすると，aは3で割って1余る数，つまり，1,4,7,10…のように3で割って1余る数全てについて議論したことになります．
何度も言いますが，証明は一般性が大切です．

「回答に対する補足」に対しての説明になっていますか？

回答No.4

graduate_student

解答の補足についてです．

数字の見方の違いです．
kが自然数（1,2,3…）の場合，
a=3k, a=3k+1, a=3k+2と置いてしまうと，
aのとりうる範囲は3以上の整数のみとなってしまい，a=1とa=2の議論ができません．

しかし，a=3k, a=3k-1, a=3k-2とおくと，
aのとりうる範囲は1以上の全ての整数についての議論が可能になります．

なにせ，k=1,2,3…をa=の式のkの中に代入して書き出してみてください．
aについて全ての整数がだてくるはずです．

補足

aも整数ですが、aの中にはa=1,2…と代入しないのですか？

回答No.3

kurobe3463

＞(1)で
＞kを自然数だとすれば、aはすべての自然数をとることができます。

＞についてよくわかりません。

3で割ることについていえば，すべての整数は次のＡ，Ｂ，Ｃの3通りに分類できるからです．
Ａ．3で割り切れる整数（3の倍数:（a≡0, mod 3））
　……,-9,-6,-3,0,3,6,9……
Ｂ．3で割ると余りが1の整数（a≡1, mod 3）
　……,-8,-5,-2,1,4,7,10……
Ｃ．3で割ると余りが2の整数（a≡2, mod 3）
　……,-7,-4,-1,2,5,8,11……

＞なぜ、kは整数と置いてaはおけないのでしょうか？

上記の理由により，kを整数とおくことによって，
Ａ．a=3k
Ｂ．a=3k+1
Ｃ．a=3k+2
とおけば，a はすべての整数値をとることになります．（aをb で割って，商が q, 余り r なら a=bq+r, 0≦r＜b だから）

k=0　ならば
Ａ．a=0
Ｂ．a=1
Ｃ．a=2

k=1　ならば
Ａ．a=3
Ｂ．a=4
Ｃ．a=5

k=2　ならば
Ａ．a=6
Ｂ．a=7
Ｃ．a=8

k=3　ならば
Ａ．a=9
Ｂ．a=10
Ｃ．a=11

………

とa はすべての整数値をとることができるのです．

これは「命題」と書けば，
命題「整数の平方を3で割ると，余りは0 または1 である．」
となります．背理法の仮定や，対偶命題はご自分考えてみてください．
でも，この命題の証明を背理法や対偶でやる必要は感じません．

さて，証明の難しさは，
a を3通りに分類するところなのですね．
すべての整数であった a がなぜ，べつの整数 k を経由しなければならないか・・・

k は幾何学の「補助線」みたいなもんです．
a を k を使って3通りに分類することにより，見通しがよくなるのです．
あえて，k を使わずに証明する方法（単に言語表現だけで）もあるとは思いますが，補助線なしで「言葉だけ」で記述すると，難しくなりそう．

証明：
すべての整数aは3で割ると，
Ａ．余り0
Ｂ．余り1
Ｃ．余り2
の3通りに分類できる．
Ａ．のとき a^2 は3で2回割れるから明らかに 3 で割ると余り0
Ｂ．のとき，a^2 ・・・挫折
んー，やっぱ a=3k+1 とでもおきたくなるなぁ

補助線の威力は絶大だ．

回答No.2

graduate_student

(1)整数を周期3で見てみると，必ず「3の倍数」か「3で割って1余る数」か「3で割って2余る数」に該当します．
1,2,3/4,5,6/7,8,9/10,…(/で切ってみてください)
これを一般的に表示してみると/と/間は必ず
/3k＋1,3k＋2,3k/となります．
これが
a=3k＋1やa=3k＋2と置いている所以です．
ここでa=3k＋1のとき，
a^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1=3[整数部分]+1となります．
つまり，a=3k＋1のとき，a^2は3で割って1余る整数となるのです．
a=3k＋2のときも同じようにしてみてください．

(2)これは問題文の対偶をとってみましょう．
対偶は「”(a＾2)が３の倍数でなく，かつ(b＾2)も３の倍数でないならば，(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)でない」を示せばよいのです．
つまり，「(a＾2)が３の倍数でなく」の部分と「(b＾2)も３の倍数でない」の部分は先ほどの(1)を利用します．

例）a=3m＋1, b=3n＋1とする，
a^2=9m^2+6m+1,b^2=9n^2+6n+1となり，これら2つの和はa^2+b^2=9(m^2+n^2)+6(m+n)+2となる．
更に変形するとa^2+b^2=3[3(m^2+n^2)+2(m+n)]+2となり，a^2+b^2=3[整数部分]+2となり，a^2+b^2は3で割ると2余る数になります．
命題の対偶を取ってみて，それが「真」であれば，その命題も「真」なので，命題”(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)ならば、(a＾2)が３の倍数か、または(b＾2)が３の倍数である”は「真」です．

補足

(1)で
kを自然数だとすれば、aはすべての自然数をとることができます。

についてよくわかりません。
なぜ、kは整数と置いてaはおけないのでしょうか？

回答No.1

betagamma

まず、最初の問題は、背理法でなくとも解けます。
整数は、a=3k,a=3k+1,a=3k+2の三つに分けられる,というのは、天下り的に使ってしまっていいです。これを厳密に証明するには、代数学とよばれる分野で、中・高の知識では厳密には証明できません。
まぁ、a=3k'+3=3(k'+1)なので、k=k'+1と考えればa=3kの時と同じ,と考えれば,そうなります。
で、
a=3k のとき、(a^2)=9k^2 =3(3k^2)
a=3k+1 のとき、(a^2)=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1
a=3k+2 のとき、(a^2)=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1
なので、a^2は３で割ったとき0か1あまる。
ということができます。

なお、かならずしもこういう分け方をするとは限りません。

a=3k,a=3k+1,a=3k-1という分け方をしたほうが問題がうまくとけることがあります。

あと、整数の時はいいのですが、aが自然数の時は、また気をつけないといけない点があります。
例えば、問題で自然数aと与えられているときに,kを自然数とすると、
a=3k,a=3k+1,a=3k+2
の三つに分けられる、ということはできません。なぜなら、自然数は1,2,3,...なので、k=1のとき、aは、1,2の値を取れないからです。こういう風に分けてもよいのですが,a=1,a=2のときは別に示さないといけなくなります。

そこで、
a=3k,a=3k-1,a=3k-2
というわけかたをして、kを自然数だとすれば、aはすべての自然数をとることができます。

問題(2)ですが、
あなたは、背理法の使い方をまちがえているようですね。
命題"pならばq"を証明せよ,との問題のときに,
pかつnot q、
とすると矛盾が生じることを示すのが背理法です。

この場合は,pが(a^2)+(b^2)=(c^2)で、qが「(a^2)が３の倍数か、または(b^2)が３の倍数」にあたるので、

(a^2)+(b^2)=(c^2)かつ、(a^2)も(b^2)も３の倍数でない

と仮定して矛盾を示すのが背理法です。(a^2)+(b^2)=(c^2)には、「～でない」はつけなくていいのです。

で、これを示してみましょう。
問題１を考えてみましょう。どんな整数を持ってきても、その二乗は３で割れば0（割り切れる）か、1なわけです。
a^2が３の倍数でないということは、あまりがではないわけですね？もともと、a^2のあまりというのは、０か１しかなかったのですから、そのうちの０という選択肢がなくなったことで、a^2の３で割ったあまりは1ということです。
b^2についても同じことが言えますから,整数n,mを用いて,
a^2=3n+1
b^2=3m+1
とあらわすことができるわけです。
(a^2)+(b^2)=(c^2)に、これを代入すると,

(3n+1)+(3m+1)=(c^2)
(c^2)=3(n+m)+2
ということになります。ここで、cが整数でないことを証明すればいいわけです。

問題１より、
「aが整数なら、a^2は３で割るとあまりが０または１」
が証明されていますから,その　対偶も真、です。
したがって、
「a^2が３で割るとあまりが０または１でないとき、aは整数でない」
ことが示せます。a^2が３で割るとあまりが０または１でないとき、というのは、a^2を３で割るとあまりが2ということです。
したがって、問題１は、
「a^2が３で割ってあまりが２のとき、aは整数でない」
ということが示せます。

さて、もう一度,
(c^2)=3(n+m)+2
を見てみましょう。c^2は、3で割って,あまりが２ですね。
ということは、cは整数ではないのです。
これは、cが整数であるという仮定に反していて,矛盾です。
したがって,
(a^2)+(b^2)=(c^2)ならば、(a^2)が３の倍数か、または(b^2)が３の倍数
なのです。

補足

(1)で
kを自然数だとすれば、aはすべての自然数をとることができます。

についてよくわかりません。
なぜ、kは整数と置いてaはおけないのでしょうか？