3の倍数であることの証明

質問

a,b,cは整数とし、a^2+b^2=c^2とする。a,bのうち少なくても一つは3の倍数であることを証明せよ。

この問題は背理法を使うのですが、どうもわかりません。大体の流れはわかるのですがわからない箇所を教えてください。

a,bはともに3の倍数でないと仮定すると、a=3m±1 b=3n±1とおける。（ここは3の倍数でなければいいので、±2でもいいと思いますが、わかりやすく±1としたんだと理解しています。この理解で正しいのでしょうか？)
ここからa^2+b^2=3(3m^2+～～～～)+2というような式が出てきて「a^2+b^2」を3で割ったときのあまりは2である。」ということがわかります。ここまではokです。
さらに「c=3k c=3k±1とおける。」とありますがこれがわかりません。おそらく「a=3m±1 b=3n±1」とおいたことに関係してこうなったのだとは思いますが、それでもなぜかわかりません。教えて下さい。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞さらに「c=3k c=3k±1とおける。」とありますがこれがわかりません。

このｃの置換は、前からのつながりではなく、ｃを3の倍数を基準にして考えると、余りは０か±１なので（本当は１か２だけど）、このようにおいているだけだと思います。

そこで、先ずは「c=3k」の場合について考えて、両辺を３の倍数とそうでないものでまとめると、
（３の倍数）＝（３の倍数）＋２
という関係式が出てくると思います。
そこで、両辺を調べてみると、右辺は３で割ったとき余りは０になるのに、左辺は２になるので、矛盾していることが分かります。
したがって、このような条件を満たす整数ｍ、ｎ、ｋが存在しないといえます。

同様に、「c=3k±1」の場合について考えてみると、
（３の倍数）＝（３の倍数）＋１
となり、上記と同じ考え方で、このような条件を満たす整数ｍ、ｎ、ｋが存在しないといえます。

これで、ｃのすべてのケースで矛盾がいえたので、そもそもの出発点の「a,bはともに3の倍数でない」という仮定に矛盾があったことになります。
あとは、ご存知の背理法でおしまいです。

回答No.1

Tacosan

結局のところ「2乗したときに 3で割ると 2余る整数が存在しない」ってことを言いたいだけです.