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証明

等式(a^2)+(b^2)=(c^2)…(1)をみたす3つの自然数a,b,cについて。 等式(1)をみたす自然数a,b,cにおいて (i) a、bのうち少なくとも1つは4の倍数である a、bのうち少なくとも1つは4の倍数であるとき n=4k-3のとき4(4k^2 -6k+2)+1 n=4k-2のとき4(4^2 -4k+1) n=4k-1のとき4(4k^2 -4k+1) n=4kのとき4*4k^2 n^2を4で割った余りは0または1 a、bがともに4の倍数でないと仮定するとa^2、b^2はともに4で割った余りが1であり(a^2)+(b^2)は4で割った余りは2 c^2は4で割った余りは0または1であるから (a^2)+(b^2)≠c^2となり矛盾 これで合ってますか? (ii) a、b、cのうち少なくとも1つは5の倍数である a、b、cのうち少なくとも1つは5の倍数のとき n=5k-4のとき5(5k^2 -8k+3)+1 n=5k-3のとき5(5k^2 -6k+1)+4 n=5k-2のとき5(5k^2 -4k)+4 n=5k-1のとき5(5^2 -2k)+1 n=5kのとき 5*5k^2 n^2を5で割った余りは0または1または4である a、bがともに5の倍数でないと仮定するとa^2、b^2はともに5で割った余りは1または4である 余りが2つある為どのようにまとめるか分かりません 1+4のとき 1+1のとき 4+4のとき と場合わけするのでしょうか? もし考えるとすると (a^2)+(b^2)は5で割った余りは5 (a^2)+(b^2)は5で割った余りは2 (a^2)+(b^2)は5で割った余りは16 間違いですね? よくわからないので御願いします

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  • corpus
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回答No.1

a^2+b^2=c^2 を満たす自然数の組(a,b,c)をピタゴラス数と呼びます。 このとき a=m^2-n^2 b=2mn c=m^2+n^2 (m,n=自然数) になることが知られています。 (a,b,c)=(3,4,5) (m=2,n=1) =(5,12,13) (m=3,n=2) 私にはわかりませんが、これを使えば手がかりになるのではないでしょうか?

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