証明

質問

何度も失礼します。
問題は、a,b,cはどの２つも１以外の共通な約数を持たない正の整数とする。a,b,cが、a^2+b^2=c^2を満たしているとき、次の問いに答えよ。
（cは奇数である）
(1)a,bの１つは４の倍数であることを示せ。

証明は、cは奇数であるから、,bのうちいずれか一方は偶数で、他方は奇数である。いま、偶数の方をaとしてもよい。aが４の倍数でないと仮定すると、a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)とおける。
a^2+b^2=(4k+2)^2+(4m±1)^2
=8(2k^2+2k+2m^2±m)+5
c^2=(4n±1)^2=8(2n^2±n)+1
よってあまりが違い、矛盾するので正しい。

となっているのですが、｛a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)｝ですが一つ目の疑問は(k,m,nは整数）ですが、整数では、例えばmが-3とかのとき明らかに-になるのでだめですよね？bが正の整数を大前提にということでしょうか？もうひとつは、これはb,cは奇数であることをいいたいのだからa=4k+2、b=2m-1,c=2n-1（・・・m,nは自然数）としてはいけないのでしょうか？それでもできるとおもうのですが。b=4m±1,c=4n±1である理由があるのでしょうか？

回答No.3

gururinbus · ベストアンサー

一つ目の疑問について

解答の「a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)とおける。」の意味は
「ある整数k,m,nを用いてa,b,cはそれぞれa=4k+2,b=4m±1,c=4n±1と表記できる」
ということだと思います。

syunndaさんの「例えばmが-3とかのとき明らかに-になるのでだめですよね？」
というのは単に「-3がb=4m±1と書けるような整数mではない」ということを
言っているだけなので「ある整数k,m,nを用いてa,b,cはそれぞれa=4k+2,b=4m±1,c=4n±1と表記できる」
ということが間違っているとはあまり思えません。
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例えでいうなら、

私がいま大阪にいると仮定したとき、

「私は日本にいる」という主張は間違っていないと思います。

ここで、

「私は日本にいる」では、例えば日本の東京とかのとき「私は東京にいる」
という主張が間違っているのでだめですよね？
(よって「私は日本にいる」というのはまずいのでは＾＾；)

という感じです。

「整数では、例えばmが-3とかのとき明らかに-になるのでだめですよね？」
(よってmが整数というのはまずいのでは＾＾；)という文が
ちょうど上の文と対応しています。
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「bが正の整数を大前提にということでしょうか？」は問題文に
「a,b,cはどの２つも１以外の共通な約数を持たない正の整数とする。」
と書いてあるので大前提なんじゃないのでしょうか？

二つ目の疑問について

b=2m-1,c=2n-1として計算すると、
a^2+b^2=(4k+2)^2+(2m-1)^2
=16k^2+16k+4+4m^2-4m+1
=4(4k^2+4k+m^2-m+1)+1
=4{4k^2+4k+m(m-1)}+4+1
=4{4k^2+4k+m(m-1)}+5
ここで、m(m-1)が偶数なので上の式は(8の倍数)+5の形をしている。

c^2=(2m-1)^2
=4m^2-4m+1
=4(m^2-m)+1
=4m(m-1)+1
同様にm(m-1)が偶数なので上の式は(8の倍数)+1の形をしている。

よってa^2+b^2=c^2に矛盾。

だから、a=4k+2、b=2m-1,c=2n-1（・・・m,nは自然数）としても
問題ないと思います。

b=4m±1,c=4n±1である理由は「そのように表記したほうが式が見やすい」
からです。

お礼

まとめてのお礼失礼します。
証明は難しいですね。大変よくわかりました。みなさん本当にどうもありがとうございました。

回答No.2

noname#47975

＞となっているのですが、｛a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)｝ですが一つ目の疑問は(k,m,nは整数）ですが、整数では、例えばmが-3とかのとき明らかに-になるのでだめですよね？bが正の整数を大前提にということでしょうか？

この場合は、まず、a,b,cが整数の場合に成立する事を証明し、
a,b,cが整数の時に成立する事が証明されたわけだから、
a,b,cが正の整数であれば、とうぜん成立するという論法なのでしょうか。

＞もうひとつは、これはb,cは奇数であることをいいたいのだからa=4k+2、b=2m-1,c=2n-1（・・・m,nは自然数）としてはいけないのでしょうか？それでもできるとおもうのですが。b=4m±1,c=4n±1である理由があるのでしょうか？

b = 2m-1,c=2n-1の場合も上手く証明できるのであれば結構だと思います。
証明法はいくつかあると思います．．。かの有名なピタゴラスの定理の証明だって数多くありますし．．。

ちなみに私は、以下のように証明してみました。

a^2 + b^2 = c^2
(4k+2)^2 + (2m-1)^2 = (2n-1)^2
(4k+2)^2 = (2n-1)^2 - (2m-1)^2
(4k+2)^2 =　(2n-2m)(2n-1+2m-1)
16k^2+16k+4 = 4(n-m)(n+m-1)
2(2k^2+2k)+1 = (n-m)(n+m-1)

となりますが、(n-m)(n+(m-1))
(n+(m-1)) - (n-m) = 2m-1より、
(n-m),(n+(m-1))のうち、どちらか一方が偶数になります。
なぜなら、(n-m),(n+(m-1))ともに奇数であれば、
奇数ー奇数＝偶数になるので、少なくとも一方が偶数である
事がいえるので、(n-m)(n+m-1)は２で割り切れるはずです。
だが、左辺は２で割り切れないので矛盾します。

確かに証明はできましたが、やはり解説の方がシンプルなような気がしないでもないですね．．。

回答No.1

noname#53123

まず一つ目の疑問から。
確かにa,b,cが正の整数であるためには、k,m,nが整数というだけでは弱すぎるでしょう。
厳密にはk≧0、m,n＞0と書く必要があります。

二番目の質問ですが、b=2m-1,c=2n-1として計算すると、
a^2+b^2=(4k+2)^2+(2m-1)^2
=16k^2+16k+4+4m^2-4m+1
=4(4k^2+4k+m^2-m+1)+1
c^2=(2m-1)^2
=4m^2-4m+1
=4(m^2-m)+1
となり、あまりが一致してしまうので矛盾が導き出せなくなってしまいます。

あまりが一致してしまったのは、両辺の計算結果を8ではなく4でくくってしまったことに起因しています。
よって、8でくくりだすためにやはりb=4m±1,c=4n±1とする必要があるでしょう。