特殊相対性理論で、速度の合成を簡単に計算する方法はありませんか？

質問

特殊相対性理論で、速度の合成を簡単に計算する方法はありませんか？

例えば、光速をcとすると、ある直線上を、0.9cで運動するA君に対し0.5cで運動するB君がいる。
さらにB君に対して逆向きに0.8cで運動するC君がいる。
A君にはC君がどちらの向きにどのくらいの速さで運動しているように見えるか。
という問題を簡単に解きたいのです。

回答No.3

stdntUniv · ベストアンサー

その問題でしたら、#1さんがおっしゃるようにそのままでも十分簡単ですね。

もっと複雑な場合には、確かに簡単には計算できないですね。
その際、速度パラメータや速度係数が有用です。
こちらのサイトが参考になるかと思います。
http://space.geocities.jp/funasking/rel_add/index1.html

参考URL：

http://space.geocities.jp/funasking/rel_add/index1.html

お礼

ご回答ありがとうございました。

＞そのままでも十分簡単

おっしゃる通りでした。

＞こちらのサイトが参考になる

私の中では、この合成を複数考えた場合の計算を簡単化したかったのですが、
うまく伝えることができませんでした。
ご紹介くださったサイトでは、この点を解消してくれる記述をお見かけしました。
参考にさせて頂きます。

ありがとうございました。

回答No.2

jamf0421

No.1さんの回答を補足します。
座標変換の式を知ればよいのです。慣性系SとS'があり、S'がSの座標でみてx軸方向にUで動いていたとします。ある物体の速度をSで観測して
V=dr/dt
とします。これをS'でみたら古典的世界ではdrだけ変換されますが、相対性理論では時間も変換されます。
dx'=(dx-Udt)/(1-(U/c)^2)^0.5, dy'=dy, dz'=dz
dt'=(dt-(U/c^2)dx)/(1-(U/c)^2)
となります。だから速度は
Vx'=dx'/dt'=(Vx-U)/(1-UVx/c^2)
Vy'=dy'/dt'=Vy(1-(U/c)^2)^0.5/(1-UVx/c^2)
Vz'=dz'/dt'=Vz(1-(U/c)^2)^0.5/(1-UVx/c^2)
となります。
今すべてx軸に沿う話ならdy=0, dz=0で結局xという添字をはずして
V'=(V-U)/(1-UV/c^2)...(1）
となります。これをVについて解けば
V=(V'+U)/(1+V'U/c^2)...(2)
となります。Sから見て、Sに対してUで動いているS’からみてV'のものがどれだけの速度で動いているかという式になります。
問題はA君から見て0.5cで動くB君の座標系からみて-0.8cのC君はA君から見てどれだけの速度になるかですから(2)をそのまま使えばよい筈です。
V=(-0.8c+0.5c)/(1+(-0.8c)0.5c/c^2)
=-0.3c/(1-0.4)
=-0.5c
B君と反対向きに0.5cで動いていることになります。

お礼

詳しく丁寧にご回答下さりありがとうございました。

#1さんへのお礼でも申し上げましたが、確かにこの問題は簡単でした。
私の中では、この合成を複数考えた場合の計算を簡単化したかったのですが、
うまく伝えることができませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

yokkun831

速度合成則で十分簡単ではありませんか？

直線上を速度uで動く観測者から見て速度vである物体の速度は，
(u+v)/(1+uv/c^2)

Aに対するCの速度
(0.5-0.8)c/(1-0.5×0.8) = -0.3c/0.6 = -0.5c

ちなみに，Aの速度を0.9cと観測した観測者にとってCの速度は，
(0.9-0.5)c/(1-0.9×0.5) ≒ 0.73c

となると思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。
確かにこの問題は簡単でした。
私の中では、この合成を複数考えた場合の計算を簡単化したかったのですが、
うまく伝えることができませんでした。
ありがとうございました。