相対性理論におけるエネルギーに関する記述について

質問

「アインシュタインの相対性理論において、質量がゼロでない粒子を加速していったときの速度とエネルギーについて以下の文で正しいのはどちらか答えよ」
という問いがあります。1.は正しいように思うのですが2.が誤っている理由がわかりません。もしくは2の方が正しいとすると1.は何が欠けているのか、どなたかご教授いただけませんでしょうか。

1.粒子の速度は光速を超えることはできないが、そのエネルギーは増大し続けることができる。

2.粒子の速度は光速を超えることはできず、その運動エネルギーは静止エネルギーを超えることができない。

回答No.4

kagakusuki · ベストアンサー

回答No.3様に同意致します。
　慣性系において物体が等速直線運動を行う場合、物体が持つエネルギー（＝静止エネルギー＋運動エネルギー）をE、静止エネルギーをE0、運動エネルギーをEk、物体の静止質量をm、物体の運動速度をv、光速をcとしますと、

E＝E0＋Ek＝m×c^2／√(1－(v／c)^2)

という関係になります。
　この式を静止状態に関して解きますと、静止状態ではv＝0、Ek＝0なのですから、

E＝E0＋Ek＝E0＋0＝E0
＝m×c^2／√(1－(v／c)^2)＝m×c^2／√(1－(0／c)^2)＝m×c^2／√(1)＝m×c^2

となりますので、E0＝m×c^2になります。
　運動エネルギーが静止エネルギーを超えるという事は、E0 < Ekという状態になるという事なのですから、

E0<Ek
E0＋E0 < Ek＋E0
2×E0 < E
2×m×c^2 < m×c^2／√(1－(v／c)^2)
2 < 1／√(1－(v／c)^2)
√(1－(v／c)^2) < 1／2
1－(v／c)^2 < 1／4
(v／c)^2 > 1－1／4
v／c > √(1－1／4)＝√(3／4)＝√3／2≒0.8660254・・・

という事になり、少なくとも慣性系を等速直線運動する物体の場合は、速度が光速の86.6％を超えると、運動エネルギーが静止エネルギーを超えるという事が判ります。
　従って、

>2.粒子の速度は光速を超えることはできず、その運動エネルギーは静止エネルギーを超えることができない。

は間違いという事になります。

お礼

テキストに書かれるままを読んでいるのですが理解が及ばなかったので質問させていただいた次第です。
分かりやすく式を提示いただきありがとうございます！
じっくり読んで理解が進んで絡まった糸がほぐれてきたような気がします。
ありがとうございました。

回答No.3

Classified

> 静止エネルギー

これは、普通の意味の静止エネルギー、 mc^2 の事でしょう。　　

ニュートン力学での運動エネルギーが mv^2/2 　なのでそれをそのまま演繹すると v < c なんだから mv^2/2 < mc^2 となる... と考えてないか　というひっかけが　選択肢2　なのでしょう。

お礼

テキストに書かれるままを読んでいるのですが理解が及ばなかったので質問させていただいた次第です。
静止エネルギーという表現は一般的ではないのですね。
ここで質問させていただいて、すこし絡まった糸がほぐれてきたような気がします。
じっくり考えてみます。
ありがとうございました。

回答No.2

foomufoomu

たしかに、運動エネルギーはともかく、静止エネルギーの意味が不明ですね。(静止エネルギーという言葉はありますが、この話のとは違う)
とりあえず、２．は、「運動エネルギーは、ある値を超えられない。」という意味だとすると２．は間違いです。
相対論では、質量は光速度に近づくほど増大し、光速度(ありえませんが)では理論上無限大になるとされています。
したがって、運動エネルギー=m*v^2 は光速度近傍では速度が増えなくても質量が増えるためどんどん増大します。

なお、この場合の速度とは観測者と非観測者の相対速度を指していることを忘れないように。(それが「相対」性理論の大前提)

お礼

テキストに書かれるままを読んでいるのですが理解が及ばなかったので質問させていただいた次第です。
静止エネルギーという表現は一般的ではないのですね。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

そもそも「運動エネルギー」とか「静止エネルギー」ってなんだ?