空間内の点Ｏに対して、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤをＯＡ＝１、

質問

空間内の点Ｏに対して、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤをＯＡ＝１、
ＯＢ＝４、ＯＣ＝４、ＯＤ＝４となるようにとる。
４面体ＡＢＣＤの体積が最大の時の体積はいくらか。

答えが、９√３になりました。
解答がないので、正しいのか分かりません。
正解でしょうか。

回答No.2

tksmsysh · ベストアンサー

結論から言うと正解です。かつて東大で出題された問題ですね。
おそらく過程も合っているでしょうが、確認のためにも過程の流れを書いておきますね。

【手順1】
四面体の体積 ＝ 1/3 × 底面積 × 高さ
であり、このうち値が変化するのは底面積と高さ。
対称性を意識すると、底面は三角形BCDとした方が計算が容易。
三角形BCDの面積 × 高さが最大となれば、四面体の体積も最大となる。

【手順2】
高さから考える。高さはAから三角形BCDに下ろした垂線の長さに等しい。
明らかに、垂線と直線OAが一致する時が最大。ここで垂線の足をH、OH=kとしよう。

【手順3】
底面積について。OB=OC=OD=4より、BH=CH=DHであるから、円に内接する三角形の面積の最大値を求めることになる。
一般に、半径rの円に内接するそれを求めると、(3√3)r^2/4となる。(ちなみにこのとき三角形は正三角形)
よって、三角形BCDの最大値は(3√3)(16-k^2)/4

【手順4】
四面体ABCDの体積をV(k)とすると、
V(k) ＝ 1/3 × 三角形BCD × 高さOH
≦ 1/3 × (3√3)(16-k^2)/4 × (1+k)
これはk=2のとき最大となり、その値は
V(2)＝9√3

です。

お礼

ありがとうございます。
解法も同じでした。

回答No.1

nattocurry

どのようにして解いたのかを書きましょう。