空間座標とベクトルの問題です

質問

どうしても回答法が分からない問題があります(>_<)

《問題》
四面体ＯＡＢＣがあり,ＯＡ⊥ＯＣ,ＯＢ⊥ＯＣ,ＯＡ＝ＯＣ＝1,ＯＢ＝2,cos∠ＡＯＢ＝－1/4である。点Ｏから辺ＡＢ,平面ＡＢＣに垂線を下ろし,それらの交点をそれぞれＤ,Ｅとする。また,↑ＯＡ＝↑a,↑ＯＢ＝↑b,↑ＯＣ＝↑cとする。

(1)点Ｄは線分ＡＢを【ア】:【イ】に内分しており,｜↑ＯＤ｜＝【ウ】である。また,四面体ＯＡＢＣの体積は【エ】である。

(2)↑ＯＥ＝【オ】↑a＋【カ】↑b＋【キ】↑cであり,↑ＤＣ＝【ク】↑ＤＥであるので,3点Ｄ,Ｅ,Ｃは同一直線上にある。

《答え》
ア‥1
イ‥3
ウ‥(√10)/4
エ‥(√15)/12
オ‥6/13
カ‥2/13
キ‥5/13
ク‥13/5

よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

noname#141439 · ベストアンサー

とりあえず(1)だけいきます・・

△OABに余弦定理を適用
AB^2=OA^2+OB^2-2×OA×OB×cos∠AOB
より
AB^2=1^2+2^2-2×1×2×(-1/4)
=5+1=6
AB=√6

次に
ADとDBの長さの比をx:1-xとすると
AD=√6x
DB＝√6(1-x)
なので三平方の定理から
OD^2=OA^2-AD^2=1^2-(√6x)^2=1-6x^2
OD^2=OB^2-DB^2=2^2-{√6(1-x)}^2=4-6(1-2x+x^2)=-2+12x-6x^2
よって
1-6x^2=-2+12x-6x^2
12x=3
x=1/4
AD:DB=(1/4):(3/4)=1:3----->(ア)(イ)

OD^2=1-6×(1/4)^2=1-(6/16)=10/16
OD=√10/4---->(ウ)

四面体OABCの体積=△OAB×OC×(1/3)より（OA⊥OC)
△OAB=(1/2)×AB×OD=(1/2)×√6×(√10/4)=√60/8=√15/4
よって四面体OABCの体積=(√15/4)×1×(1/3)=√15/12---->(エ)

お礼

ご丁寧にありがとうございます><本当に助かりました!

回答No.2

noname#141439

(2)
点Eは△ABC上にあるので
→OE=l(→a)+m(→b)+n(→c) (l+m+n=1---(1))
OE⊥AB、OE⊥ACだから、(→OE)・(→AB)=(→OE)・(→AC)=0
→AB=(→b)-(→a)
→AC=(→c)-(→a)
(→OE)・(→AB)=0
{l(→a)+m(→b)+n(→c)}・{(→b)-(→a)}
=-l|→a|^2+m|→b|^2+(l-m){(→a)・(→b)}+n{(→b)・(→c)}-n{(→a)・(→c)}=0
ここで|→a|^2=1^2=1、|→b|^2=2^2=4、|→c|^2=1^2=1
(→a)・(→b)=|→a||→b|cos∠AOB=1×2×(-1/4)=-1/2
(→b)・(→c)=|→b||→c|cos∠BOC=2×1×0=0
(→a)・(→c)=|→a||→c|cos∠AOC=1×1×0=0

-l+4m+(-1/2)l-(-1/2)m=0
(-3/2)l+(9/2)m=0
同じ様に
(→OE)・(→AC)={l(→a)+m(→b)+n(→c)}・{(→c)-(→a)}=0に上の値を代入
して求めると
l=6/13,m=2/13,n=5/13
(→OE)=(6/13)(→a)+(2/13)(→b)+(5/13)(→c)となる。----->(オ)(カ)(キ)

(→DC)=(→OC)-(→OD)
(1)より点Dは線分ABを1：3に内分しているので
(→DC)=(→c)-{(3/4)(→a)+(1/4)(→b)}
=(-3/4)(→a)-(1/4)(→b)+(→c)
(→DE)=(→OE)-(→OD)
=(6/13)(→a)+(2/13)(→b)+(5/13)(→c)-[(→c)-{(3/4)(→a)+(1/4)(→b)}]
=(-15/52)(→a)-(5/52)(→b)+(5/13)(→c)
=(5/13){(-3/4)(→a)-(1/4)(→b)+(→c)}
(→DE)=(5/13)(→DC)より (→DC)=(13/5)(→DE)---->(ク)
3点DECは一直線上にある

お礼

ありがとうございます!!