数学の問題を教えてください！

質問

受験生ですが、以下の問題が解けなくて困っています。
どなたか解説付きで教えてください。

正四角錐O-ABCDがある。底面の一辺の長さが2cmで、OA＝OB＝OC＝OD＝5cmである。辺OB、OC上にそれぞれ点P,Qをとる。
このとき、3つの線分の和AP+PQ+QDの最小値を求めなさい。

答えは142/25なのだそうですが、解法が分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

tomokoich · ベストアンサー

下図の展開図のADがAP+PQ+QDの最小値になります
△QCDは二等三角形（∠QCB=∠QCD錯角）なのでQD=2
同様にAP=2
EQ=x ,OE=yとすると
△OADにおいて三平方の定理より
(2+X)^2+y^2=5^2 ---(1)
△OEQと△OHCは相似なので
OE:OH=EQ:HC (OH=√(5^2-1^2)=√24)
y:√24=x:1
y=√24x
(1)に代入
(2+x)^2+(√24x)^2=25
4+4x+x^2+24x^2=25
25x^2+4x-21=0
(25x-21)(x+1)=0
x=21/25 (x>0より)
PQ=42/25
AD=AP+PQ+QD
=2+42/25+2
=142/25

お礼

よくわかりました！
丁寧な回答ありがとうございます！

回答No.5

info22_

#3です。

A#3に図を添付したのですがうまく添付されなかったようですので再度添付します。

回答No.4

tomokoich

２行目∠QCDは∠CQDの間違いです
スミマセンついでに言うと二等辺三角形の辺も抜けてました・・

回答No.3

info22_

添付の展開図で、AとDを結ぶ直線ADとOB,OCの交点をそれぞれP,Qとすると
APQDが最短経路になる。
図で θ=∠BOH とすると
∠AOH = 3θ、sinθ=1/5、
AD = 2AE = 2*OA sin(3θ)=2*5*(3sinθ-4sin^3θ)
=10(3(1/5)-4(1/5)^3)
=10(75-4)/125=142/25

お礼

ありがとうございました！
sinがなにかわからなくて調べてみたら、高校の数学の知識なんですね。。。

回答No.1

gohtraw

展開図を書いて、ＡとＤを直線で結んで下さい。