数学

質問

四角形ABCDにおいてAB=3/2,CD=12/5,DA=7/10,
AC=5/2である,対角線AC,BDの交点をOとするとき、
OA,OB,OC,ODの長さをそれぞれ求めよ。

回答解説を教えてください。

なるべく早めにお願いします。

回答No.6

ferien

No.1，No.5です。

内接四角形になるようにＢＣの長さを決めたら、解くことができました。
（ＢＣの長さは予想がつきます。ＢＣの長さを決めさせるのも問題なのでしょうか？）

四角形ABCDにおいてAB=3/2,CD=12/5,DA=7/10,
AC=5/2である,対角線AC,BDの交点をOとするとき、
>OA,OB,OC,ODの長さをそれぞれ求めよ。

△ＡＣＤは、３辺が分かっているので計算すると三平方の定理を満たします。
ＡＣ^2＝ＡＤ^2＋ＤＣ^2
(5/2)^2＝(7/10)^2＋(12/5)^2　を計算してみて下さい。
△ＡＢＣは、AB=3/2，AC=5/2なので、５：４：３の直角三角形と
見当をつけることができます。
だから、ＢＣ＝４／２＝２と決めます。
このようにすると、四角形ABCDは、直径5/2の円に内接する四角形になります。

ＢＤの長さを求めます。余弦定理からも求められますが、計算が大変なので、
トレミーの定理より、
ＡＢ・ＤＣ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤだから
(3/2)・(12/5)＋(7/10)・２＝(5/2)・ＢＤより
ＢＤ＝２

ＡからＢＤに、ＣからＢＤに垂線を引き交点をそれぞれＨ，Ｈ'とする。
ＢからＡＣに、ＤからＡＣに垂線を引き交点をそれぞれＩ，Ｉ'とする。
△ＡＨＯと△ＣＨ'Ｃは相似です。
角ＡＨＯ＝角ＣＨ'Ｏ＝９０度
角ＡＯＨ＝角ＣＯＨ'（対頂角）で２つの角が等しいから。
よって、ＯＡ：ＯＣ＝ＡＨ：ＣＨ'　……（１）
△ＢＩＯと△ＤＩ'Ｏは相似です。
角ＢＩＯ＝角ＤＩ'Ｏ＝９０度
角ＢＯＩ＝角ＤＯＩ'（対頂角）で２つの角が等しいから。
よって、ＯＢ：ＯＤ＝ＢＩ：ＤＩ'　……（２）
sinＣ＝sin（π－Ａ）＝sinＡ
△ＡＢＤの面積＝(1/2)・(3/2)・(7/10)・sinＡ
　　　　　　　＝(21/40)sinＡ
△ＣＢＤの面積＝(1/2)・２・(12/5)・sinＣ
　　　　　　　＝(12/5)sinＡ
底辺をＢＤ＝２，高さをＡＨ，ＣＨ’と見ると
△ＡＢＤの面積＝(1/2)・２・ＡＨ＝ＡＨ
△ＣＢＤの面積＝(1/2)・２・ＣＨ’＝ＣＨ'
よって、ＡＨ＝(21/40)sinＡ，ＣＨ'＝(12/5)sinＡ

△ＡＢＣの面積＝(1/2)・(3/2)・２＝3/2
△ＡＤＣの面積＝(1/2)・(7/10)・(12/5)＝21/25
底辺をＡＣ＝5/2，高さをＢＩ，ＤＩ’と見ると
△ＡＢＣの面積＝(1/2)・(5/2)・ＢＩ＝(5/4)ＢＩ
△ＡＤＣの面積＝(1/2)・(5/2)・ＤＩ'＝(5/4)ＤＩ'
よって、(5/4)ＢＩ＝3/2，(5/4)ＤＩ'＝21/25　だから、
ＢＩ＝6/5，ＤＩ’＝84/125
（１）より、
ＯＡ：ＯＣ＝ＡＨ：ＣＨ'＝21/40：12/5＝７：３２
（２）より、
ＯＢ：ＯＤ＝ＢＩ：ＤＩ'＝6/5：84/125＝２５：１４

それぞれの長さは、
ＯＡ＝(7/39)ＡＣ＝(7/39)×(5/2)＝３５／７８
ＯＣ＝(32/39)ＡＣ＝(32/39)×(5/2)＝８０／３９
ＯＢ＝(25/39)ＢＤ＝(25/39)×２＝５０／３９
ＯＤ＝(14/39)ＢＤ＝(14/39)×２＝２８／３９

となりましたが、どうでしょうか？　できれば参考にして下さい。

回答No.5

ferien

No.1です。
>私も思ったのですが、解けるそうです・・・

考えてみましたが、やはりせめてＢＣの長さが分からないと、対角線ＢＤの長さもはっきり決められないので解けません。
この条件だけで分かるのは、△ＡＣＤは直角三角形で円に内接するということです。
△ＡＢＣも内接するとはっきり分かれば内接四角形として考えることができますが、
ＢＣの長さが決まってないので、何とも言えません。
なにか他に条件はないのでしょうか？

回答No.4

B-juggler

Ｎｏ．２です。すいません。勘違い。

おっしゃるとおり。これでない。

∠ＢＡＣが出ませんね。ゴメン。

∠ＣＡＤ＝∠ＤＡＣだね。

何か情報が足りないのか、書き間違いじゃない？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.3

nag0720

＞私も思ったのですが、解けるそうです・・・

本気で言ってるの？

点Bの情報は、AB=3/2しかないんだから、Bの位置は定まらないし、対角線の交点Oの位置も不定です。

回答No.2

B-juggler

宿題は自分でやろうね。

分からないのはいいんだよ。分かろうとしないといけないよ。

代数屋だから幾何は得意じゃない。まずそれを先に言って置いて。

辺の長さが結構分かっているから、余弦定理で出せる角は出そう。

∠ＣＡＤ，∠ＡＤＣ，∠ＤＡＣ　は確実に出せるね。

そしたら、∠ＢＡＣが出るから、ＢＣの長さは出るね。

あとは、ぐるぐる三角形の面積を出していって、高さでいけないかな？

自信はないよ。

ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.1

ferien

>四角形ABCDにおいてAB=3/2,CD=12/5,DA=7/10,AC=5/2である
これでは四角形にならないので、問題をもう一度確認して下さい。

補足

私も思ったのですが、解けるそうです・・・