空間ベクトルの証明問題です。

質問

「四角形ABCDを底面とする四角すいOABCDは、ベクトルOA＋ベクトルOC＝ベクトルOB＋ベクトルODを満たしており、0と異なる４つの実数p、q、r、sに対して４点P、Q、R、SをベクトルOP＝pベクトルOA、ベクトルOQ＝qベクトルOB、ベクトルOR＝rベクトルOC、ベクトルOS＝sベクトルODによって定める。
このとき、P、Q、R、Sが同一平面上にあれば
1/p + 1/r = 1/q + 1/sが成り立つことを示せ。」

という問題です。ここまで解答したのですが、まだ欠けているような気がするので…ご指摘お願いします。

(ベクトルを省略させていただきます)
題意より、OA-OB=OD-OC
よってBA=CD
また、OA-OD=OB-OC
よってDA=CB
したがって、四角形ABCDは平行四辺形

P、Q、R、Sは同一平面上にあるので、四角形ABCD∽四角形PQRS
よって、OA+OC=OB+ODより、
1/pOP+1/rOR=1/qOQ=1/sOS

したがって、1/p+1/r=1/q+1/s

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

少し「飛躍」してしまっているところがあると思います。

1) まず、質問の中でも書かれているとおり、四角形ABCDは平行四辺形であることが示されます。
すると、AC→＝ AB→＋ AD→と表すことができます。

2) 「P、Q、R、Sは同一平面上にあるので、四角形ABCD∽四角形PQRS」
これは言えません。
これが言えるのは、ABCDと PQRSが平行なときだけです。
つまり、平行でないときもあるということです。

3) 同一平面上にあるということは、
・3点で作られるベクトル 2つ（たとえば、PQ→, PS→）を考え、
・もう 1点について、それらの線形結合として表すことができる。
（点Rに対して、PR→＝α*PQ→＋β*PS→と表すことができる）
ということです。

位置ベクトルの原点は、点Oとした方がわかりやすいので
OR→＝ r* OC→
OR→＝ OP→＋ PR→

のように表すのがよいでしょう。

お礼

分かりやすい回答、大変ありがとうございました！