f(x)=x^4+2x^3-5x^2-2x+5のときf(√３ー１）は□

質問

f(x)=x^4+2x^3-5x^2-2x+5のときf(√３ー１）は□となる。

次数下げ そのまま計算するのは面倒で芸がなさすぎる。√３ー１をαとおいて、αの満たす２次の等式を利用して「根号を解消して次数下げ」が定石である。

教えてほしいところ
√３ー１をｘと置いて、ｘの満たす２次の等式を利用して次数下げしてもいいんですか？？
また、何故ｘではなくαと置いているんでしょうか？？

教えて下さい

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

√3-1＝ αとおいた方が、逆にわかりやすくなると思います。
いま、欲しい（答えを得たい）値は、f(√3-1)＝ f(α)です。
そして、
・f(α)＝ α^4+ 2α^3- 5α^2- 2α+ 5であり、
・αは、（αの 2次式）＝ 0という関係を満たしている。

となります。
（αの 2次式）＝ 0より α^2＝・・・の形に変形すれば、
「α^2という値（＝(√3-１)^2）は、αの 1次式（上式の左辺）の値に等しい」
ということですから、代入すなわち次数下げをしてもいいことになります。

「x」だと「変数」という意味合いが強いので、
√3-1という「定数」であることを明示的にするためにもαと表した方がわかりよいと思います。

回答No.4

mister_moonlight

＞また、何故ｘではなくαと置いているんでしょうか？？

ｘは一般を意味し、αは特殊(＝√3-1)を表すから、と言うのが建前の話。
2次方程式での共通解を求める問題で、共通解をαとして進めた事がないか？　それと同じ事。

＞√３ー１をｘと置いて、ｘの満たす２次の等式を利用して次数下げしてもいいんですか？？

従って、α＝√3-1　とすれば、α＾2＋2α-2＝0だから　f(α)＝α^4+2α^3-5α^2-2α+5＝(α＾2＋2α-2)*(α＾2-3)＋4α－1＝4α-1　となる。

α＾2＋2α-2＝0　で割れないだろう、と疑問に思うだろうが、0であろうと、1であろうと、これは恒等的に成立する式に過ぎない。
たまたま、α＾2＋2α-2が0であっただけ。

回答No.3

alice_44

No.1 No.2 と、同じといえば同じなんですが…
x=(√3)-1 でも、α=(√3)-1 でも、
解法は同一で、数学的内容は何ら変わりません。
x だと変数っぽい気がする、
α だと定数っぽい気がする…というのは、
単なる習慣の問題で、意味はありません。
ただ、そういう印象に惑わされ易い人は、
答案作成上の処世術として、α で書いておく
ほうが無難ではあるでしょう。

回答No.2

Tacosan

本質的には #1 と同じですが, x を使うのであれば「恒等式であるべき」とはいえるでしょう. つまり,
f(x) = (何らかの計算) = ax+b
のように書いてしまうと恒等式でないのでダメ. 一方 α なんかでおいてやったりすると「定数を代入して計算している」という雰囲気が出るので, 同じように見えても
f(α) = (何らかの計算) = aα+b
は OK.
逆に言えば, 「恒等式」として処理するなら x を使ってもまったく問題ありません. つまり
g(√3-1) = 0
であるような x の (2次) 式 g(x) に対し
f(x) = (x の (2次) 式)×g(x) + ax+b
としてから x = √3-1 を代入する (で g(√3-1) = 0 を使う) のは OK.
やることは同じですけどね.