数I

質問

x=-1+√2のとき、2x^3+5x^2+3x+3の値を求めよ。
という問題で、普通xを代入して計算したら、
-√2+9となりました。

しかしわたしのやり方だと計算ミスが多くなってしまいます。
工夫して計算しようと思い次数下げなどやってみたのですがうまくいかず…＞＜
どなたか、どのように工夫すればいいのか教えてください。

回答No.6

slimebess

x=-1+√2
∴x+1=√2

両辺2乗して
(x+1)^2=2
∴x^2+2x-1=0

P(x)=2x^3+5x^2+3x+3
とおく.

P(x)=(x^2+2x-1)(2x+1)+3x+4

∴P(-1+√2)
=3(-1+√2)+4
=1+3√2(答)

注)
x^2+2x-1={x-(-1+√2)}{x-(-1-√2)}

回答No.5

mister_moonlight

慣れない人には、2乗するという発想がわかないでしょうし、同値性についても考えなければならないので、拙劣ですが素直にやりましょう。

Ｐ＝2x^3+5x^2+3x+3＝x(2x＾2＋5x＋3)＋3＝x(2x+3)(x+1)＋3と変形できる。
x=-1+√2から、x+1＝√2、2x+3＝2√2＋1となるから、これをx(2x+3)(x+1)＋3に代入して直接計算すると良い。

＃　但し、皆さんがやっている2乗する方法は“常識”のようなものですから、憶えておいたほうがいいです。

回答No.4

tent-m8

x=-1+√2 より、x+1=√2
両辺を２乗して、x^2+2x+1=2
これより、x^2+2x=1 ・・・（１）

2x^3+5x^2+3x+3
=2x^3+4x^2+x^2+2x+x+3
=2x(x^2+2x)+(x^2+2x)+x+3
（１）を代入して、
与式=2x+1+x+3
=3x+4
xを代入して、
3(-1+√2)+4
=-3+3√2+4
=1+3√2

回答No.3

debut

次数下げでいいんじゃないですか。
x+1=√2を２乗で、x^2+2x+1=2→x^2=1-2x
すると、
2x^3=2x*x^2=2x(1-2x)=2x-4x^2=2x-4(1-2x)=10x-4
5x^2=5(1-2x)=5-10x
なので、
与式＝10x-4+5-10x+3x+3=3x+4
と簡単にできます。

回答No.2

zk43

x=-1+√2からx^2+2x-1=0であるので、2x^3+5x^2+3x+3をx^2+2x-1で割っ
て余りをもとめ、余りの多項式（一次式）において、x=-1+√2とすれば
良い。

回答No.1

oxbridge1985

x=-1+√2
x+1=√2
両辺を二乗して・・・