整式f(x),g(x)を求める問題

質問

次の3つの条件を満たす整式f(x)とg(x)を求めよ

f(0)=1,g(0)=-1 (1)
f′(x)＋g′(x)=3x^2+2x (2)
{f(x)g(x)}′=5x^4-3x^2+2x (3)

自分の考えは(2)、(3)より次数を考慮してf(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
g(x)=px^2+qx+rまたはg(x)=ax^3+bx^2+cx+d,f(x)=px^2+qx+rとおいて、微積分して解こうと思ったのですが（3）の条件で突っかかってしまいます。
となるとまったく別の方法で解くことになると思うので、どなたか教えてください！できれば詳しくお願いします！

回答No.3

osietemath · ベストアンサー

(2)式を両辺不定積分すると
f(x)+g(x)=x^3+x^2+c
ここでcの値を求めるためにこの式にx=0を代入すると
f(0)+g(0)=c
条件(1)よりf(0)=1,g(0)=-1だから
c=0
よって
f(x)+g(x)=x^3+x^2

同様にに(3)式についても両辺不定積分すると
f(x)g(x)=x^5-x^3+x^2+c
x=0を代入すると
-1=cとなるから
f(x)g(x)=x^5-x^3+x^2-1
ちなみにこれは因数分解できて
f(x)g(x)=x^3(x^2-1)+x^2-1
=(x^2-1)(x^3+1)
=(x-1)(x+1)(x+1)(x^2-x+1)
=(x-1)^2(x+1)(x^2-x+1)
となります。
以上よりf(x)とg(x)の和と積が分りました。

ここからはちょっと自信なさげですが
関数の解と係数の関係を用いるとf(x)とg(x)を解に持つようなyの二次方程式は
y^2-(x^3+x^2)y+(x-1)^2(x+1)(x^2-x+1)=0
実はこの式は
y^2-(x^3+x^2)y+(x^2-1)(x^3+1)=0より
(y-(x^2-1))(y-(x^3+1))=0
ここでこの二次方程式の解がf(x)とg(x)だったから
x^2-1かx^3+1がf(x)かg(x)となる
(1)の条件より
f(x)=x^3+1
g(x)=x^2-1
となるのが分ると思います。

お礼

丁寧な解答、助かりました。
y^2+{f(x)+g(x)}y+f(x)g(x)=0として、これを因数分解してf(x)とg(x)を求められるとは思いませんでした。
以後、役に立ちそうな考えが身についたのですごくありがたかったです！
ありがとうございました。

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

(2)より　f(x)+g(x) = ∫(3x^2+2x)dx = x^3+x^2+C
(3)より　f(x)g(x) = ∫(5x^4-3x^2+2x)dx = x^5-x^3+x^2+D
それぞれにx=0を代入し、(1)を利用すると、C=0、D=-1

f(x)g(x)=(x-1)(x+1)^2(x^2-x+1) と因数分解できて・・・以下省略

お礼

なるほど！積分を使って解く問題だったんですね！
てっきり微分で解くのかと思っていました。
ありがとうございました。

回答No.1

shkwta

(2)よりfとgの一方は三次式、一方は三次式以下です。
(3)よりfgは五次式なので、
fとgの一方は三次式、一方は二次式です。

三次式の方をp(x), 二次式の方をq(x)とおきます。
f(x)=p(x),g(x)=q(x) なのか、f(x)=q(x), g(x)=p(x) なのかは、まだわかりません。

(2)より、p(x)の三次の係数は1です。
(3)より、p(x)q(x)には四次の項がありません。よって、q(x)には一次の項がありません。
(2)より、p(x)+q(x)には一次の項がありません。よって、p(x)にも一次の項がありません。
(3)より、p(x)q(x)の五次の係数は1ですから、q(x)の二次の係数は1です。
(2)より、p(x)+q(x)の二次の係数は1です。よって、p(x)の二次の項はありません。
(3)より、p(x)q(x)の三次の係数は-1です。よって、q(x)の定数項は-1です。

あとはわかるとおもいます。

お礼

ちゃんと解けました。ありがとうございました。