xの方程式x^3-12x^2+36x-18=kx-4kが異なる3つの正の解を持つようなkの範囲

質問

表題の問題（03年、関西学院大）ですが、問題集のヒントには
（１）極大値、極小値を持つ
（２）極大値×極小値＜0
と書いてありました。私の解釈ではf(x)=x^3-12x^2+(36-k)x+4k-18とおき、（１）はf'(x)の判別式が正になると考え、-12<kと導きました。
次に（２）を計算するため極大値・極小値を求めようとしたのですが根号を含む複雑な式となるため、上手く解けませんでした（問題集には目標時間10分と書いてありますが、大幅に超えてしまいます）。
なお、ヒントにはありませんが、異なる3つの正の解を持つにはf(0)<0と考え、k<18/4と導きました。
解法又は答え、誤っている考え方がありましたら教えて頂けると助かります。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

その問題集のヒントはちょっと計算が大変なので薦めない。
但し、もしやるのなら、極大値×極小値＜0については、f´(x)＝0の2つの解をα、βとすると、f(α)*f(β)＜0として、解と係数から、α＋β＝8、αβ＝(36-k)/3を使うと良い。

では、どうしたら良いか？

x^3-12x^2+36x-18＝k(x-4)と変形して、3次曲線：y＝x^3-12x^2+36x-18と直線：y＝k(x-4)が異なる3つの正の交点を持つためのkの条件として求める。
直線：y＝k(x-4)は定点(4、0)を通る直線で、kはその傾き。
従って、微分を使って3次曲線：y＝x^3-12x^2+36x-18を書き、直線と正の異なる3交点を持つためのkの条件を求める。

実際の計算は自分でやって。

お礼

教えて頂いた方法の後半通りに3次曲線を描き、定点(4、0)を通る直線を数本引いてみたら急に理解できました(正解か分かりませんが、解答は-9<k<9/2になりました）。数式だけ見ていても分からない問題は、実際にグラフを描いてみると分かり易くなるものですね。今回は大変参考になりました。

回答No.4

jamf0421

色々な解き方があるでしょうが、たとえば平行移動させて処理してはどうでしょうか？
x-4=zとおけば
f(x)=x^3-12x^2+(36-k)+4k-18...(1)
は
g(z)=z^3-(12+k)y-2=0...(2)
になってくれます。
g(z)'=3z^2-(12+k)...(3)
ですから判別式（もとと意味するところは変わりません）も簡単です。
g(z)'=0の解も簡単な形で
z=±√((12+k)/3)...(4)
となります。この2根を(2)にいれて
g(√((12+k)/3))*g(-√((12+k)/3))<0...(5)
の計算はあまりばらばらにしないようにやれば、
(12+k)^3-27>0...(6)
になるはずです。27は3^3ですから(6)の左辺の因数分解は簡単で、
{(12+k)-3}{(12+k)^2+3(12+k)+9}>0...(7)
になり、左辺の12+kについての2次式は必ず正ですから、(7)からはk>-9しか出てきません。
なお、(1)でf(0)<0は必要ですが、十分ではないと思います。
gの小さい方の根に4を足した値（極大値を与えるx)、4-√((12+k)/3)が正でないとまずいですがこれからはもっと緩い制限しかこないようです。
計算違いがあったらごめんなさいです。

お礼

自分なりに解いてみたところ、-9<k<9/2となり、jamf0421さんの解答と下限で一致しました。数学の先生に聞いたところ、k<9/2(←f(0)<0から導かれる）は正しいとのことなので、どうやら正解に達したようです。ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

もし、分数関数の微分を習っているのなら。

x^3-12x^2+36x-18＝k(x-4)から、x-4≠0である事を確認した上で、k＝(x^3-12x^2+36x-18)/(x-4)＝(x＾2-8x+4)-{(2)/(x-4)}として、y＝kとy＝(x＾2-8x+4)-{(2)/(x-4)}が異なる3つの正の交点を持つためのkの条件として求められる。

でも、数IIIの領域だろうから無理かな？

回答No.1

koko_u_

k と x を分離せよ。