∫〔a,x〕ｆ（ｔ）dt=3x^(2)-7x-6となる関数f(x)とa

質問

∫〔a,x〕ｆ（ｔ）dt=3x^(2)-7x-6となる関数f(x)とaを求めよ。
計算途中と答え，教えてください。

回答No.4

kittenandcat · ベストアンサー

すみません。書き間違えをしたようで。

つぎに　a　の値を求めます。
ｆ（x）＝　6x-7より、
∫〔a,x〕ｆ（ｔ）dt　＝　∫〔a,x〕6t-7dt　
　　　　　　　　　　＝　〔3t^(2) -7t　＋Ｃ〕　a,x （Ｃは積分定数）
　　　　　　　　　　＝ （3X^(2) - 7X + Ｃ）－　（3a^(2) - 7a + Ｃ）
= 3X^(2) - 7X －　3a^(2) - 7a
となる。また、∫〔a,x〕ｆ（ｔ）dt=3x^(2)-7x-6であるから
両方の式を比べると、　3a^(2) - 7a = 6 とが成り立つ。これを解くと、ａ＝3、－2/3

です。

Ｆ（a）　＝　定数のとこですかですか。
仮にＦ（ｘ）とするならば、Ｆ（ｘ）は、ｘの関数ですよね。Ｆ（ｘ）にある特定の数を代入すると必ず決まった値になりませんか？
例えば　Ｆ（ｘ）＝ｘ^(3)　＋　Ｘ^(2) ＋　4　みたいな式だったら　ｘにある決まった数を代入すると
からならず　Ｆ（ｘ）は決まった値になります。
Ｘ＝１という決まった数を入れるとＦ（ｘ）＝６みたいにきまった数が出てきます。
同様にしてaという決まった数をＦ（ｘ）の代入すると、その答えは決まった数にしかならないということなのです。
したがってＦ（a)は定数とおくことと考えることはできませんか？

というか、Ｆ（a)の式には少なくともｘは含んでいないので、xを含んでいない式をxで微分してもその答えは０だと考えてみるのもありかも。

お礼

とてもわかりやすく，丁寧に教えてくださり，ありがとうございます。感謝します。

回答No.3

kittenandcat

∫〔a,x〕はxからaまでの積分と言う意味ですかね？そのように解釈してときます。

ｆ（ｔ）を積分したものをＦ（ｔ）とします。
そうすると、
∫〔a,x〕ｆ（ｔ）dt=　〔Ｆ（ｔ）〕a,x
　　　　　　　　　　＝　Ｆ（x）- Ｆ（a）
となります。
∫〔a,x〕ｆ（ｔ）dt=3x^(2)-7x-6　より
Ｆ（x）- Ｆ（a）　＝3x^(2)-7x-6　と書くことができます。
つぎに両辺　xで微分することを考える。
Ｆ（a）　＝　定数であるからＦ（a）をxで微分すると０です。
ｆ（ｔ）を積分したものをＦ（ｔ）としているわけだから、Ｆ（x）をxで微分するとｆ（x）である。
3x^(2)-7x-6　を微分したものは　6x-7である。

Ｆ（x）- Ｆ（a）　＝3x^(2)-7x-6　を両辺Ｘで微分したものは、
ｆ（x）- 　０　　　＝6x-7

ｆ（x）＝　6x-7
となります。

つぎに　a　の値を求めます。
ｆ（x）＝　6x-7より、
∫〔a,x〕ｆ（ｔ）dt　＝　∫〔a,x〕6t-7dt　
　　　　　　　　　　＝　〔3t^(2) -7t　＋Ｃ〕　a,x （Ｃは積分定数）
　　　　　　　　　　＝ （3X^(2) - 7X + Ｃ）－　（6a^(2) - 7a + Ｃ）
= 3X^(2) - 7X －　6a^(2) - 7a
となる。また、∫〔a,x〕ｆ（ｔ）dt=3x^(2)-7x-6であるから
両方の式を比べると、　6a^(2) - 7a = 6 とが成り立つ。これを解くと、ａ＝3、－3/2

補足

一つ一つ丁寧にありがとうございます。ちょっと，わからないところがあるので教えてください。
Ｆ（a）　＝　定数とは，どうしてわかるのですか？
また，6a^(2) - 7a = 6 を解くと、ａ＝3、－3/2にならないのですが，教えてください。

回答No.2

kabaokaba

教科書をみなさい．
必ず出ている公式がある．
それを使うだけ．

回答No.1

kabaokaba

＞計算途中と答え，教えてください。

自分で計算しなさい．基本中の基本問題だから．
・両辺をxで微分する
・両辺にx=aを代入する
これで終わり

補足

両辺をxで微分するってどういうことなんでしょう。特に，左辺の微分はどうすればいいのでしょうか？教えてください。