重積分

質問

∬{(x+y)exp(-(x+y))/2y+1}dxdy
0≦x≦∞、0≦y≦x
という問題でx+y=u、2y+1=vとおいて変数変換しようとしたのですが積分範囲をどうして良いか分からなくて困ってます。
他にも解き方あったら参考に聞かせてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

0≦x≦∞、0≦y≦x というのですから

ｙ

│　　　　　　／
│　　　　　／∧
│　　　　／∧│
│　　　／∧││
│　　／∧│││
│　／∧││││
│／∧│││││
└───────　ｘ

と積分するのですね．
y で先に積分しないと意味がない．

ｙ

│　　　　　　／
│　　　　　／＞
│　　　　／─＞
│　　　／──＞
│　　／───＞
│　／────＞
│／─────＞
└───────　ｘ

じゃあ，同じ領域を順番変えて先に x で積分すればよいでしょう．
つまり，
第１段階：x で y → ∞ の積分
第２段階：第１段階の結果を y で 0 →∞ の積分

式の形からしても，その方が簡単ですね．

2y+1=v なんて書いているところを見ると
∬{(x+y)exp(-(x+y))/2y+1}dxdy
じゃなくて
∬{(x+y)exp(-(x+y))/(2y+1)}dxdy 　　　2y+1 のかっこに注意．
ですか．
それなら答は 1/2 みたいですが．
ちょろっと計算しだけなので，チェックもよろしく．

もし，x+y=u、2y+1=v とするのでしたら(得とは思えないが)，
積分範囲の他にヤコビアンも考えないといけません．

お礼

確かに・・・
式は（2y+1）です。すみません。
積分順序変更して計算したら上手く（2y+1）が消えてくれました。
解答は1/2で合ってると思います。
ありがとうございました。