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高校の基礎的な知識だったような気がしますが 忘れてしまいました。教科書とかあげてしまって 残ってないので教えて下さい。 行列AがあってA^nを求めろという問題で A^2、A^3と出せばある程度A^nが予想できますが それを帰納法で証明しなければいけないですよね？ それってどうすればいいんでしょうか？

こんにちは、 指数関数のExp^x　は、不思議なものです。 このExp^xは、微分しても積分してもそのままですが、 質問１． 　　　このように微分または積分してもそのままなのは、　　　Exp^x以外にあるのでしょうか？ 質問２． 　　　ある関数f(ｘ)　（たとえば、Exp^x等　ほかでも　　　　OK）に、ある関数g(x) を 作用させた場合、Exp^x　　　のようにそのまま変わらないような関数g(x)はある 　　　のでしょうか？ 　　　　g(f(x))=f(x) 質問３． 　　　なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなの　　　でしょうか？その意味（？）は、どのように解釈す　　　ればよいのでしょうか？ 　　　また、Exp^xを微分しても積分してもそのままである　　　ような日常的な例はないでしょうか？ 昔からあった素朴な疑問です。 よろしくお願いいたします。

私は塾で小学生に算数を教えているのですが、小数×小数、分数÷分数の計算を教えるのに、小学校中学年までに習った既習のやり方で上手く説明できないものかと悩んでいます。どなたか上手く説明する事の出来る方がいらしたら、どうぞ宜しくお願いします。 あわせて、円の面積について、公式を詰め込むだけでない指導法があったらお願いします。