重積分

質問

数学の参考書に載っていた重積分問題で

G(x,y,t)=(1/t)exp(-(x^2+y^2)/4t) (t>0)としたとき
(1) ∂G/∂x,∂G/∂tをそれぞれ求めよ。(G=G(x,y,t))
(2) 各tに対して，次の積分I(t)を計算せよ。
　　I(t)=∬G(x,y,t)dxdy　D={(x,y,t)|-∞<x<∞,-∞<y<∞,t>0}

という問題なのですが，
(1)は∂G/∂x=(-x/2t)G，∂G/∂t={(x^2+y^2)/4t^2-1/t}G
と解けたのですが，
(2)が参考書の解答では極座標に変換して∫exp(-x^2)dxの考え方で
∫dθ∫r(1/t)exp(-r^2/4t)dr　D'={(r,θ,t)|0<r<ε,0<θ<2π,t>0}
=4π(1-exp(-ε^2/4t))
lim(ε→∞) 4π(1-exp(-ε^2/4t))=4π
としているのですが，これだと完全にtを無視している形になっていると思うのですが，t>0という条件だけでこのようにtを無視しても良いんでしょうか??
それに(1)の問題の意味は？と考えてしまうのですが
考え過ぎなのでしょうか…。
別解や解説お願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

t が無視されたような気がして気になるなら、
I(t) = (1/t) ∬ exp( -(x^2+y^2)/4t ) dx dy と、
1/t を括り出してみればよいでしょう。
更に、(x/√t, y/√t) = (u, v) と変数変換すると、
この問題で、t について何が起こっているか解ります。

ガウス積分を知っていれば、
積分の具体的な値を求めることもできますが、
それは、t が消えるカラクリとは、また別の話です。

お礼

ありがとうございます。
(2)がこれでいいということは(1)と(2)は本当に関係なかったのですね。

回答No.1

noname#95312

tは端から無視されているのではなく、正の定数であれば、x,y→∞
今の場合、ε→∞に対し、e^{-ε^2/(4t)} が無視小になるという
評価において使われ、0 という結果に導びいたのです。