重積分

質問

∫∫dxdy/(x^2+y^2)^(5/2)
積分範囲
x^2+y^2≦2
x≧1
y≧0

この問題が分かりません。教えてください。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

x=rcosθ, y=rsinθとおいて置換積分すると
dxdy=rdrdθ
1/(x^2+y^2)^(5/2)=1/r^5
積分範囲：D={(x,y)|x^2+y^2≦2, x≧1, y≧0} ⇒ D'={(r,θ)|r=1/cosθ→√2, θ=0→π/4}

I=∫∫[D] dxdy/(x^2+y^2)^(5/2)
=∫∫[D'] rdrdθ/r^5
=∫[0→π/4] dθ ∫[1/cosθ, √2] r^(-4) dr
=∫[0→π/4] dθ ∫[1/cosθ, √2] r^(-4) dr
=∫[0→π/4] dθ [(-1/3)r^(-3)]∫[1/cosθ, √2]
=(1/3)∫[0→π/4] [(cosθ)^3-2^(-3/2)] dθ
=(1/3)∫[0→π/4] [cosθ{1-(sinθ)^2}-(√2/4)] dθ
=(1/3)∫[0→π/4] [(sinθ)' {1-(sinθ)^2}-(√2/4)] dθ

合成関数の積分公式∫g(t)f(g(t))dt=F(g(t))+C (ただしF(t)=∫f(t)dt)を適用して
I=(1/3){[sinθ-(1/3)(sinθ)^3][0→π/4]}-(√2/4)(π/12)
=(1/3){(√2/2)-(1/3)(√2/4)}-(√2π/48)
=(√2/6)-(√2/36)-(√2π/48)
=(5√2/36)-(√2π/48)
=(20-3π)√2/144 ... (答)

お礼

分かりやすかったです。ありがとうございます！