二重積分について。

質問

ｘ、ｙがｘ^2+y^2≦１の範囲Ｄにあるとき、

Ｉ＝∫∫√（1-x^2-y^2）/(1+x^2+y^2)dxdy

の積分をx=rcosθ,y=rsinθに変換し、Ｉをθとｒに関する積分に直し、値を求めよ。という問題なんですが、

x=rcosθ,y=rsinθの関係を式に代入し、また、dx、dyをdθ、drに変換し、Dの範囲をr≦1/√２として積分を行おうと思ったのですが、なかなか展開していけませんでした。

誰かわかりそうな方いらっしゃいましたら、よろしくお願いします。

回答No.9

info22 · ベストアンサー

π∫{(1-u/1+u)^(1/2)}du（積分範囲：0～1）
＝π∫{t(-4t/(1+t^2)^2)}dt（積分範囲：1～0）
＝-π∫{(-2t)・(-2t)/(1+t^2)^2)}dt（積分範囲：1～0）
ここで部分積分の公式
∫vwdt=[v∫wdt]-∫{v'∫wdt}dt
を適用するわけですが
以下では vとw をどのように選ばれたのですか？
どう選んでも「-1/(2t)」の項が出ませんが、
「1/(1+t^2)^2」の項の積分のつじつまを合わせるために
補正したように見えますが、その場合vとwが何になっているのか、はっきりせず、第1項はつじつまを合わせてあるため正しく出ますが、第2項の積分項が間違う原因になっています。
多分質問者さんの頭の中でvとwがうやむやに認識されているため「-1/(2t)」の項が出たり、「4t^2」を微分するというミスが発生する原因になっています。

＝-π{［-1/(2t)・1/(1+t^2)・4t^2］-∫{［-1/(2t)・1/(1+t^2)・8t dt}←これ間違いです。
質問者さんの式から類推すると部分積分のvとwが
v=4t^2,w=？(分かりません)
正しいvとwの分け方は
v=-2t,w=-2t/(1+t^2)^2 ですよ。
形式的にはvを微分するところで第2項に2倍の差が出た分けです。
これ以降間違った結果になったわけです。

では、vとwをどのように決めるかを説明しておきましょう。簡単なことですので確実に覚えておいてください。
部分積分で分母の次数を下げることに着目して
{1/(1+t^2)}'=-2t/(1+t^2)^2＝wとおいてやります。
積分核＝vwから　v=-2t となり
∫wdt=1/(1+t^2)　となることは自明ですね。
このようにおくと部分積分が簡単に、間違いなくできますね。
I＝-π{［(-2t)・1/(1+t^2)］-∫{(-2)・1/(1+t^2)} dt
（積分範囲：1～0）
＝-π-2π∫{1/(1+t^2) dt（積分範囲：1～0）
＝-π-2π[arctan (0)-atctan(1)]
＝-π-2π(-π/4)=(π^2)/2 -π

お礼

説明していただけたのでvとwの決め方がわかりました！
他の部分積分の問題も、同様にしてといてみて、習得してしまいたいと思います。
今回は細部にわたって、計算問題の解答を導くのを丁寧に手伝っていただきまして、誠にありがとうございました。

回答No.8

info22

>＝-π{［-1/2t・1/(1+t^2)・4t^2］+∫4(1+t^2)^-1 dt}
→-π{［-1/(2t)・1/(1+t^2)・4t^2］+∫2(1+t^2)^-1 dt}
この計算は質問者さんの計算を無理やり私の方の計算式につじつまが合うように形式的にあわせただけですので結果には影響しません。
途中計算が示されていませんでしたので、細かなチェックは出来ていません。全体の流れは間違わないように別計算で行っております。

>π∫{t(-4t/(1+t^2)^2)}dt（積分範囲：1～0）
＝π∫{t(4t/(1+t^2)^2)}dt（積分範囲：0～1）
>＝-π{［-1/2t・1/(1+t^2)・4t^2］-∫{［-1/2t・1/(1+t^2)・8t dt}

この式で「1/2t」は正しく情報が伝わりませんので
(1/2)t　か　1/(2t)　
のどちらか分かるように書いていただかないとチェックできません。正確に書いていただけませんか？

補足

この式で「1/2t」は正しく情報が伝わりませんので
(1/2)t　か　1/(2t)　
のどちらか分かるように書いていただかないとチェックできません。正確に書いていただけませんか？

わかりづらくてすいません。
1/(2t)です。
よろしくお願いします。

回答No.7

info22

>π∫{t(-4t/(1+t^2)^2)}dt（積分範囲：1～0）
この式で積分の上限と下限を入れ替えますと積分の符号が「-」となり、積分核の符号と打ち消し、積分核の符号が正になります。積分核はt^2の関数ですので積分は正の値になることを念頭において計算ミスをしないようにしてください。→質問者さんの結果が負になっていますよ。

>＝-π{［-1/2t・1/(1+t^2)・4t^2］+∫4(1+t^2)^-1 dt}
→-π{［-1/(2t)・1/(1+t^2)・4t^2］+∫2(1+t^2)^-1 dt}
ここで計算ミスがあります。

>＝-π{［-1/2t・1/(1+t^2)・4t^2］+4∫Tan^-1 tdt}
→-π{［-1/2t・1/(1+t^2)・4t^2］+2Tan^-1 t}
第2項は積分は間違いです。

>＝-π｛1/2・1/2・4+4{3/4π}｝
→＝-π｛1/2・1/2・4-2{(1/4)π}｝
間違いです。
一行ごとに新たな計算ミスが入っていますよ。

>答えが　-3π^2-π　になりました。いいんですかね？？
解は正の値になりますので正しくありません。
→(π^2)/2 - π (>0)
となります。

補足

>＝-π{［-1/2t・1/(1+t^2)・4t^2］+∫4(1+t^2)^-1 dt}
→-π{［-1/(2t)・1/(1+t^2)・4t^2］+∫2(1+t^2)^-1 dt}
ここで計算ミスがあります。

とありますが、一部計算を省略してかいてありました。

>＝-π{［-1/2t・1/(1+t^2)・4t^2］-∫{［-1/2t・1/(1+t^2)・8t dt}

となると思うのですがどうでしょうか？
他のところは私の計算ミスでした。
訂正ありがとうございます。

回答No.6

info22

>t={(1-u)/(1+u)}^(1/2)とおくと、
>dt=-2/{(1+u)}^2 duとなり、積分範囲は（t:1→0）となりました。

uをtに変換するわけですから
t={(1-u)/(1+u)}^(1/2)　の両辺の微分
dt=g'(u)du
をとるのではなく
uをtで表してから微分
du=f'(t)dt
をとってください。
つまり、
u=(1-t^2)/(1+t^2)=2/(t^2+1) -1
du=-4t/(t^2+1)^2 dt
こうすると積分核（被積分関数）がtだけの関数で表せます。

>π∫t(-2/(1+u)^2)}dt（積分範囲：0～1）
となり、積分を行うと、
これはいけませんね。
積分核の中に変数変換する前のuを残したまま積分はできませんよ。

この先、もう少しですので頑張ってやってみてください。

u→tの変換で、積分核の√が外れますので
そこで、部分積分の公式を使って分母のべき乗数を減らし、1/(t^2+1)形式の積分に持っていってください。
最後に
∫1/(t^2+1)dt=tan^(-1) t +C
を適用すると最終結果がでてきます。

を

補足

π∫{(1-u/1+u)^(1/2)}du（積分範囲：0～1）

の積分範囲を変換すると、

π∫{t(-4t/(1+t^2)^2)}dt（積分範囲：1～0）
を部分積分していくと、
π∫{t(-4t/(1+t^2)^2)}dt（積分範囲：1～0）

＝-π{［-1/2t・1/(1+t^2)・4t^2］+∫4(1+t^2)^-1 dt}
＝-π{［-1/2t・1/(1+t^2)・4t^2］+4∫Tan^-1 tdt}
これに積分範囲の値を代入すると、
＝-π｛1/2・1/2・4+4{3/4π}｝
となり、答えは
答えが　-3π^2-π　になりました。いいんですかね？？

回答No.5

info22

#1,#4です。
次に以下の積分変数の変換をするといいですね。
t={(1-u)/(1+u)}^(1/2)
この変換をすると√がなくなります。
その後、部分積分の公式を適用してみてください。

補足

（パイ）→π∫{(1-u/1+u)^(1/2)}du（積分範囲：0～1）

t={(1-u)/(1+u)}^(1/2)とおくと、

dt=-2/{(1+u)}^2 duとなり、積分範囲は（t:1→0）となりました。

このようにして、式変換を行ってみると、

π∫t(-2/(1+u)^2)}dt（積分範囲：0～1）
となり、積分を行うと、

π/(1+u)^2

となってしまい、uが残ってしまいました。
積分を長らくやっていなかったので、簡単な積分も苦戦してしまう自分がいます。

回答No.4

info22

#1です。
回答者の回答に補足の返信をしていただかないと質問の解答に到達できませんよ。

確認：
１）√（1-x^2-y^2）/(1+x^2+y^2)
この√は分数の分子だけにかかるのですか？分数全体にかかるならもう１組の中括弧{ ｝を補って分数全体に囲ってください。
２）x=rcosθ,y=rsinθの関係を式に代入し、また、dx、dyをdθ、drに変換し
この変換は行ってください。変換でdxdy=r drdθとなりますので間違えないように。２重積分は変数分離できますのでθの積分（0～2π）を実行するとｒについてだけの積分になります。
３）Dの範囲をr≦1/√２
0≦r≦1となります。
４）更に積分を進めるにはとりあえず、u=r^2の変数変換をしてください。
その先は、質問者さんの解答作成の進行状態次第です。質問が出れば補充質問をしてください。

補足

返信おくれてご迷惑をおかけ致しました。
返答ありがとうございます。
こちらの質問が伝わりづらいところもあり、すいませんでした。

１）√{（1-x^2-y^2）/(1+x^2+y^2)}となり、全体に√がかかっております。

info22様のアドバイスに従い、積分を展開していったところ、

（パイ）→π∫{(1-u/1+u)^(1/2)}du（積分範囲：0～1）

というところまでだせましたが、肝心な積分で詰まってしまいました。
教科書等で解法を探してみたいと思います。

回答No.3

KENZOU

＞x=rcosθ,y=rsinθの関係を式に代入し、また、dx、dyをdθ、drに変換し、Dの範囲をr≦1/√２として積分を行おうと思ったのですが、なかなか展開していけませんでした。
かなり苦戦されているご様子でね。以下は2重積分を解くに際しての技術的なヒントです。一般に変数x,yをx=A(u,v),y=B(u,v)のように変数変換した場合、2重積分は次のように書き直すことができます（←テキストか参考URLを見てください）。
(1)　∬f(x,y)dxdy=∬f(A(u,v),B(u,v))|J(u,v)|dudv
ここでJ(u,v)というのはヤコビアンと呼ばれており、結局微小面積dxdyを新しい変数空間での微小面積に焼き直したものです。この実体はこのサイトのココ↓に大変丁寧に書かれていますのでご参照ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1173859
ということでヤコビアンを計算すると結局
　|J(r,θ)|=r
となります。また、今の場合dudvはdrdθということですね(u→r、v→θに相当)。あと残る仕事はx,yを変数変換(極座標への変換)してやることですが、これはx=rcosθ,y=rsinθですから、与式のx,yに之を代入して(1)式の右辺を計算すればよいことになります。尚、積分範囲はよくチェックしてください。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node56.html

お礼

ヤコビアンというものを使うと便利なのですね！参考にさせていただきます。ありがとうございます。

回答No.2

endlessriver

積分範囲に誤解があるようです。
積分範囲は半径１の円の内部だから極座標に変換すれば積分範囲は標準的な取り方として r=0～1、θ=0～２π。

これらをまとめて積分の変数変換をすれば積分範囲は０～√２となるようにもできっす。

教科書を読み直してみよう。

お礼

よくまとめられたサイトも教えていただきありがとうございました。
参考にさせていただきます。

回答No.1

info22

>x=rcosθ,y=rsinθの関係を式に代入し、また、dx、dyをdθ、drに変換し、Dの範囲をr≦1/√２として積分を行おうと思ったのですが、なかなか展開していけませんでした。

途中まででもいいですから質問者さんが考えた過程をできるだけ書いてください（間違っても構いません。）