2重積分

質問

∬D log(x^2＋y^2)dxdy,D＝｛(x,y)｜1≦x^2＋y^2≦4｝を積分しなさい…という問題です。極座標の変数変換を使うのはわかるのですが、どう計算すればいいかわからなくなってきました。
x＝γcosθ,y＝γsinθをxとyの範囲にそれぞれ代入しますよね。そこからどうすればいいのですか？

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

平面極座標(r,θ)に変換して積分します．

dx dy = r dr dθ

を用いると，

∬_D log(x^2＋y^2)dxdy
= ∫[0,2π]dθ∫[1,2]dr r log(r^2)
= 4π∫[1,2]dr r log r.

rによる積分は，部分積分を使って，
∫[1,2]dr r log r
= [(r^2/2)log r]_1^2 - (1/2)∫[1,2] r dr
= 2log 2 - (1/4)[r^2]_1^2
= 2log 2 - 3/4.

したがって，

∬_D log(x^2＋y^2)dxdy
= 4π(2log 2 - 3/4)
= π(8log 2 - 3).

補足

ありがとうございます。
数学のこういったWeb上での表記がいまいちわからないのですが、[0,2π]などは0≦θ≦2πであり、∫の上に2π、下に0と書いて積分範囲を表す…であってますか？
またところどころある空白は意味があるんですか？
[r^2]_1^2の小さなアンダーバーの意味も教えていただけると助かります。

回答No.3

noname#154783

教科書通りの記法

∫[0,2π]｛∫[1,2]r log(r^2) dr｝dθ

で説明しますと，｛…｝の部分はθに無関係なので，
θによる積分においては定数同然で，
｛…｝の部分はθによる積分の外に出してしまうことができますよね．

∫[0,2π]｛∫[1,2]r log(r^2) dr｝dθ
= ｛∫[1,2]r log(r^2) dr｝∫[0,2π]dθ.

そうすると，θによる積分とrによる積分とが完全に分離できたわけで，

∫[0,2π]dθ = 2π

は簡単に計算できますよね．

∫[0,2π]｛∫[1,2]r log(r^2) dr｝dθ
= 2π｛∫[1,2]r log(r^2) dr｝.

さらに｛…｝内の log(r^2) は対数の性質により

log(r^2) = 2log r

と書き直せますから，この2を積分の外に括り出して，

∫[0,2π]｛∫[1,2]r log(r^2) dr｝dθ
= 2π｛∫[1,2]r log(r^2) dr｝
= 4π∫[1,2]r log r dr.

ここで部分積分を使って，rによる積分を実行します．

∫[1,2]r log r dr
= [(r^2/2)log r]_1^2 - ∫[1,2](r^2/2)・1/r dr
= 2log 2 - (1/2)∫[1,2]r dr
= 2log 2 - (1/4)[r^2]_1^2
= 2log 2 - 3/4.

以上より

∫[0,2π]｛∫[1,2]r log(r^2) dr｝dθ
= 4π∫[1,2]r log r dr
= 4π(2log 2 - 3/4)
= π(8log 2 - 3).

回答No.2

noname#154783

> 数学のこういったWeb上での表記がいまいちわからないのですが、[0,2π]などは
> 0≦θ≦2πであり、∫の上に2π、下に0と書いて積分範囲を表す…であってます
> か？

はい，そうです．
積分記号∫の下に0，上に2πを添えて表記したいのはやまやまなのですが，web上でプレーンテキストで数式を書いてるので，なかなか思い通りには数式が書けなくて，苦労しています．

> またところどころある空白は意味があるんですか？

あくまで見やすさのためです．
たとえば r log r を rlogr と表記してしまうと，どこで切れるのかわかりづらいですから．

> [r^2]_1^2の小さなアンダーバーの意味も教えていただけると助かります。

[r^2]_1^2 は，定積分を行ったとき角ばった括弧の中に原始関数を書き，右側の括弧の下に積分の下端を，上に積分の上端を書く，例のあれです．
アンダーバー_の右隣の数字1が積分下端を，キャレット^の右隣の数字2が積分上端を表します．

補足

わかりました！全体的な流れはつかめたんですが、

∫[0,2π]dθ∫[1,2]dr r log(r^2)
= 4π∫[1,2]dr r log r

の計算につまづいてしまいました。
ちなみに教科書通りに表記すると
∫[0,2π]dθ∫[1,2]dr r log(r^2) は
∫[0,2π]｛∫[1,2]r log(r^2) dr｝dθ
になるようです。ですから先に中の
∫[1,2]r log(r^2) dr
を計算することになると思うのですが…
部分積分や置換積分を試してみましたが式がどんどん複雑になります(涙)。

∫[0,2π]dθ∫[1,2]dr r log(r^2)
= 4π∫[1,2]dr r log r

の計算の流れを教えて下さいm(__)m