多変数の積分について

質問

こんにちは。
現在多変数の微積を勉強しているのですが、わからないことがあるので教えてください。

まず、一つ目は広義積分の収束についてです。
∫D dxdy/(1＋x^2＋y^2）Dは全平面
という広義積分なのですが、私は極座標変換をした結果この積分は発散すると思うのですがどうでしょうか？

もう一つは計算問題です。
∫D (x＋y)^4dxdy D:|x|＋|y|≦１
なのですが、上手い変数変換がわからないのです。
とりあえず私はu=x＋y,v=x-yと変換したところ答えが2/5とでたのですが、全く自信がありません。

恐れ入りますがご指摘をお願いします。

回答No.3

info22

#2です。
＞πsrcsinh(y)　←奇関数
これは
π*arcsinh(y)　←奇関数
の間違いですので訂正します。

後半は
＞私はu=x＋y,v=x-yと変換したところ答えが2/5とでたのですが、
こうおくと「-2/5」と出ますので
u=x＋y,v=y-xと変換してやればヤコビアン|J|=1/2となるから
dxdy=(1/2)dudv
(x+y)^4=u^4
領域Dは
D'={(u,v)|-1≦u≦1,-1≦v≦1}
となる。
従って積分は
∫∫D' (u^4)*(1/2)du}dv
=∫[-1,1]{∫[-1,1] (u^4)*(1/2)du}dv
となる。
これを積分すると「2/5」となります。

お礼

なるほど、その様に変数変換すれば綺麗になりますね。
解答頂き本当に有難うございました。

回答No.2

info22

前半の積分は発散するようです。
xで－∞～∞の定積分すると
π/√(1+y^2)
となり
これをyで定積分すると
πsrcsinh(y)　←奇関数
となります。これに積分の上限、下限を代入すると∞に発散します。

後半は後で。

お礼

数式まで示して頂き有難うございます。より理解が深まりました。

回答No.1

A-Tanaka

こんにちは。
一つ目は、発散します。普通に、積分しても発散します。
二つ目は、別の方法で計算してみても、同じ答えになります。具体的には、どちらかのパラメータを固定して、与式に代入しても同じ結果です。

お礼

御親切にどうも有難うございました。合っていたようでよかったです。