重積分

質問

D = { (x, y); 1<= x+y <=2, x >=0, y>=0 }　とする。二重積分 I = ∬(x^2+y^2)/(x+y)^2 dxdy　について次の問いに答えよ。

(1) u = x-y, v = x+y　とおく。x, y をu, vで表せ。
(2) 行列式 　| δx/δu　δx/δv |　を求めよ。
　| δy/δu　δy/δv |
(3) (1)の変換でDに対応するuv平面の集合をD'とする。D'を図示せよ。
(4)　Ｉ　を求めよ。

(1)において　x = (u+v)/2 y = (v-u)/2 というのも分かり，(2)においても 行列式 = 1/2がわかりました。
(3)において平面の集合D' としたとき　1<=v<=2, -v<=u<=v　といのもわかりましたが（合っているかはわかりませんが）。どのように図示したらいいのでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1) x=(u+v)/2, y=(v-u)/2
で合ってます。

(2) |J|=
| 1/2,1/2|
|-1/2,1/2|
=1/2
で合っています。

(3)
D = { (x, y); 1<= x+y <=2, x >=0, y>=0 }
D'= { (u, v); 1<= v <=2, u+v >=0, v-u>=0 }
　= { (u, v); 1<= v <=2, v >=|u| }
D'の領域は添付図の通り（境界を含む斜線領域）。

(4)
x+y=v,x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=v^2-(v^2-u^2)/2=(u^2+v^2)/2
dxdy=|J|dudv=(1/2)dudv より
I = ∬[D] (x^2+y^2)/(x+y)^2 dxdy
= ∬[D'] (1/2)(u^2+v^2)/v^2 (1/2)dudv
=(1/4)∬[D'] (u^2+v^2)/v^2 dudv
=(1/2){∫[0,2]du∫[u,2] (u^2/v^2)+1 dv-∫[0,1]du∫[u,1](u^2/v^2)+1dv }
=(1/2){∫[0,2] [-(u^2/v)+v] [v=u,2] du-∫[0,1] [-(u^2/v)+v] [v=u,1] du }
=(1/2){∫[0,2] [-(u^2/2)+2] du-∫[0,1] [-(u^2)+1] du }
=(1/2){[-(u^3/6)+2u] [u=0,2] -[-(u^3/3)+u][u=0,1]}
=(1/2){-(4/3)+4-(-(1/3)+1)}
=1

お礼

ありがとうございます。わかりやすかったです。