(1)arctan(x)のx=0でのtaylor展開を求めよ。

質問

(1)arctan(x)のx=0でのtaylor展開を求めよ。
(2)tanの加法定理を用いて、以下を示せ。
　π/４=arctan(1/2)+arctan(1/3)
(3)(2)の右辺に(1)を適用してπの近似計算を実行してみよ。

できるだけ、詳しく教えてください。お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

誤差評価の無い近似計算は無いからね。
No.1 (3) の理由によって、例えば、π/４ を小数第三位まで求めるためには、
(2) の右辺で arctan x = x - (1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + … を
arctan(1/2) については x^7 項まで、arctan(1/3) については x^5 項まで
求めて足せばよい。

補足

π/4=0.7853981…,arctan(1/2)のx^7項までの和は0.5468…,arctan(1/3)のx^5項までの和は0.34650205…となり,arctan(1/2)のx^7項までの和とarctan(1/3)のx^5項までの和とあわないんですけど、そういうことでは,ないのでしょうか？教えてください。

回答No.2

info22_

で、何が分からないのでしょうか。
前の質問で回答した解答を参照してやってみて下さい。

(2)
>π/４=arctan(1/2)+arctan(1/3)
であれば

A=arctan(1/2),B=arctan(1/3)
tanA=1/2,tanB=1/3
y=A+B, 0<y<π/2
tan y=tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=(1/2+1/3)/(1-(1/2)(1/3))=(5/6)/(5/6)=1
y=π/4
と導けます。

回答No.1

alice_44

(1)
等比級数 1/(1+t^2) = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + …
の両辺を t = 0 ～ x で積分する。

(2)
arctan(1/2) + arctan(1/3) = arctan tan( arctan(1/2) + arctan(1/3) )
= arctan( { tan arctan(1/2) + tan arctan(1/3) } / { 1 - tan arctan(1/2)・tan arctan(1/3) })
= …

(3)
交代減少級数の打ち切り誤差が、打ち切り項の絶対値で抑えられることを利用する。