(1)log（（1+x）/(1-x)）のtaylor展開を求めよ。どう

質問

(1)log（（1+x）/(1-x)）のtaylor展開を求めよ。どうしてその結果かも説明すること。
(2)(1)を用いて，log２，log３，log５を計算せよ。下記の表を作ること。
展開の次数… 有理数表示… 小数表示
…
…
厳密値

説明まで教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

(1) できたのなら、それでいいでしょう。
理由の説明は、貴方が計算した過程を素直にそのまま書けばいい。
私の場合は、log z を z = 1 中心にテーラー展開して、
log(1+h) = 0 + h - (1/2)h^2 + (1/3)h^3 - …。
これに h = x を代入したものから、h = -x を代入したものを引けば、
log(1+x) - log(1-x) = 2x + (2/3)x^3 + …。

(2) No.3 に書いたのは、x = 1/4 を代入すると
log((1+x)/(1-x)) = log(5/3) = log５ - log３ になるから、
級数展開から log５ - log３ の近似値を出して、
先に求めた log３ の近似値を足せば log５の近似値になる という話。
最初から x = 2/3 を代入する などの方法でもよいと思う。

補足

ありがとうございました。やってみます。

回答No.3

alice_44

log( (1+x)/(1-x) ) = log(1+x) - log(1-x) を使って
マクローリン展開する　…ってオチなんだろうな、たぶん。(遠い目)
(2)の時、収束半径に注意して、代入してよい x を選ばにゃいかん
ところがポイントかな？ x = 1/3, 1/2, 1/4 で、どうだろう。
log 5 については、log 3 を使って後処理が要る。

補足

(1)はティラー展開ができましたが，どうしてその結果になるかの説明ってどうやったらいいのでしょうか？
(2)はlog２，log３はそれぞれ，１１次，１３次まで求めてみましたが，log５でlog３を使うってどういうことなのでしょうか？
教えてください。

回答No.2

f272

これでは，x=どこのまわりでのテイラー展開か分かりませんよ。
log２，log３，log５の厳密値はlog２，log３，log５以外にどう書けばいいの？

回答No.1

Tacosan

Taylor 展開するときの中心はいくつ?