Taylor展開の問題

質問

Taylor展開についての質問です。

(1+x)^(1/x)をx=0のまわりでx^3の項までTaylor展開せよ。

という問題が解けません。
Taylor展開の定義どおりに計算してもx=0を代入する時点で手が止まってしまいます。自然対数の底eが全ての項に出てくるという予想はあるんですが、二項展開をしても、どうもうまくいきません。

どなたか解法を教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

(1)　　f(x) = (1+x)^(1/x)
とします．
f(0) は普通に x→0 の極限値 e と思えばよいでしょう．

(2)　　log f(x) = (1/x) log(1+x)
ですから，両辺を x で微分して
(3)　　f'(x)/f(x) = {1/x(1+x)} - {log(1+x)}/x^2
すなわち
(4)　　f'(x) = f(x) [{1/x(1+x)} - {log(1+x)}/x^2]
となります．
(4)に x=0 を代入すると分母にゼロが出てきて困る(手が止まってしまう？)ように見えますが，
(5)　　1/(1+x) = 1 - x + x^2 - ・・・
(6)　　log(1+x) = x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - ・・・
を使えば，ちゃんと lim{x→0} f'(0) = -e/2 が出てきます．
以下同様，でできるはずですが，(4)を繰り返し微分すると項数が増えるので，結構大変です．

もっと簡単にやるには次のようにすればよいのです．
(2)で，log(1+x)の Taylor 展開
は(6)に書いたようによく知られていますから，直ちに
(7)　　log f(x) = 1 - (1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^3 + O(x^4)
がわかります．
O(x^4) は x^4 以上の項を意味しています(Landau の記号)．
(8)　　f(x) = e^{log f(x)}
で
(9)　　e^y = 1 + y + (1/2!)y^2 + (1/3!)y^3 + O(y^4)
ですから，(9)の y に(7)の右辺を代入して丁寧に３次の項まで拾えばＯＫです．
O(x^4) や O(y^4) で省略してしまった部分からは，
最終結果で x^3 以下の項は決して現れないことを確かめてください．

なお，私の結果も kabaokaba さんの結果と全く同じです．

回答No.1

kabaokaba

そもそもx=0で値をどう定義するか，
定義したとして，Taylor展開の条件を満たすのか
というようなことはチェックしてますか？

ちなみに，
e-(e*x)/2+(11ex^2)/24-(7ex^3)/16+・・・・
となるはず．

お礼

回答ありがとうございます。
X=0で(1+x)^(1/x)をe、として定義してよいという条件だったと思います。Taylor展開の条件というのは、剰余項のことでしょうか？

あと、もしよろしければ、
e-(e*x)/2+(11ex^2)/24-(7ex^3)/16+・・・・
をどのように導いたのか、方針だけでも教えていただけませんでしょうか。